【演算法】斐波那契數列與颱風的故事

在小島的一個海濱小鎮上，住著一個名叫蘇菲的女孩。蘇菲一家人靠海為生，她的生活簡單而朴素，與大自然和諧共生。每天，蘇菲都會來到海邊，欣賞那美麗的日出和日落，感受著大海的呼吸。

然而，小島的美麗風光並非一成不變。每年夏季，熱帶氣旋活躍，颱風頻繁登陸，給小島帶來了嚴重的危害。

有一天，蘇菲經歷了一場猛烈的颱風。颱風帶來的狂風暴雨席卷了整個小鎮，樹木被連根拔起，房屋倒塌，街道一片狼藉。蘇菲的家也被摧毀了，她無家可歸，生活陷入了困境。

在颱風的影響下，蘇菲失去了親人，她感到孤獨和無助。然而，她並沒有放棄，她決定勇敢面對生活的挑戰。

在颱風過後，蘇菲積极參与災後重建工作，幫助鄰居們重建家園。她用自己的雙手清理廢墟、種植樹木，為小鎮重新帶來了生機。

在成長過程中，她遇到了一個氣象專家，教會她一些數學知識。她決定要用自己的知識和力量去保護家園，減少自然災害帶來的損失。

她對斐波那契數列有著濃厚的興趣，在閑暇時會用海灘上的貝殼擺出斐波那契數列的形狀。

有一天，蘇菲註意到一個有趣的現象：颱風的路徑似乎與斐波那契數列有關。她開始研究颱風的形成和運動原理，發現颱風的生命周期與斐波那契數列的規律有著奇妙的聯繫。

為了更準確地預測颱風，蘇菲需要處理大量的數據，進行複雜的計算。然而，她意識到傳統的計算方法效率低下，無法滿足實時預測的需求。於是，她開始尋找更高效的計算方法。

在一次數學課程中，蘇菲學到了矩陣乘法的知識，她突然想到可以利用矩陣乘法來降低計算複雜度。她將颱風的數據整理成矩陣形式，並利用矩陣乘法的快速冪演算法來計算颱風的運動軌跡和強度變化。

通過實踐，蘇菲發現利用矩陣乘法快速冪演算法可以將計算複雜度降低到原來的十分之一以下，大大提高了計算效率。她將這種方法應用於颱風預測模型中，取得了顯著的成果。

蘇菲將她的發現告訴了她的老師，得到了贊賞和支持。氣象學家們將蘇菲的方法應用於更廣泛的天氣預測中，取得了良好的效果。利用這一發現，政府可以提前做好防災減災的準備，減少颱風帶來的損失。

斐波那契數列的遞推公式為：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
以10為例，斐波那契數列的前10項為：
2 3 5 8 13 21 34 55

蘇菲面臨一個問題，當n=2000000的時候，就算用超級電腦來計算也會超時，等運算完畢，颱風已經消失了，怎麼處理這個問題呢？

演算法實現：

 1 public static BigInteger fib(int n)
 2 {
 3     Console.WriteLine(n);  // 列印輸入的參數n，用於調試
 4 
 5     BigInteger semn = 1;  // 定義一個BigInteger類型的變數semn，用於存儲符號
 6     BigInteger t = 0;  // 定義BigInteger類型的變數t，用於臨時存儲中間計算結果
 7     BigInteger i = 1;  // 定義BigInteger類型的變數i，初始化為1
 8     BigInteger j = 0;  // 定義BigInteger類型的變數j，初始化為0
 9     BigInteger k = 0;  // 定義BigInteger類型的變數k，初始化為0
10     BigInteger h = 1;  // 定義BigInteger類型的變數h，初始化為1
11 
12     if (n < 0)  // 如果n小於0，表示需要計算負數的斐波那契數
13     {
14         n *= -1;  // 將n取絕對值
15         semn = n % 2 == 0 ? -1 : 1;  // 判斷n的絕對值是否為偶數，如果是偶數，semn為-1，否則為1
16     }
17 
18     while (n > 0)  // 當n大於0時，進行迴圈計算斐波那契數
19     {
20         if (n % 2 != 0)  // 如果n是奇數
21         {
22             t = j * h;  // 計算j乘以h的結果，並賦值給t
23             j = i * h + j * k + t;  // 更新j的值，根據斐波那契數列的遞推公式計算
24             i = i * k + t;  // 更新i的值，根據斐波那契數列的遞推公式計算
25         }
26         t = h * h;  // 計算h的平方，並賦值給t
27         h = 2 * k * h + t;  // 更新h的值，根據斐波那契數列的遞推公式計算
28         k = k * k + t;  // 更新k的值，根據斐波那契數列的遞推公式計算
29         n = n / 2;  // 將n除以2，用於控制迴圈次數
30     }
31 
32     return j * semn;  // 返回計算得到的斐波那契數乘以符號semn，得到最終結果
33 }

這段代碼使用了數論中的快速冪演算法來計算斐波那契數，通過減少迴圈次數來降低計算量。讓我們以n=2000000為例來解釋演算法的步驟。

首先，我們初始化變數i、j、h和k的值為0、1、1和0。然後，我們進入迴圈，當n大於0時，進行迭代計算。

在第一次迭代中，由於n=2000000是一個偶數，我們只需要更新h和k的值。我們計算h的平方並將結果存儲在t中，然後更新h的值為2*k*h + t，更新k的值為k*k + t。此時，n被除以2，變為1000000。

在第二次迭代中，由於n仍然是一個偶數，我們再次只需要更新h和k的值。我們計算h的平方並將結果存儲在t中，然後更新h的值為2*k*h + t，更新k的值為k*k + t。此時，n被除以2，變為500000。

依此類推，我們繼續進行迭代，每次將n除以2，直到n變為1。在這個過程中，我們只需要更新h和k的值，而不需要更新i和j的值。

當n變為1時，我們進行最後一次迭代。由於n是奇數，我們需要更新i和j的值。我們計算j*h的結果並將其存儲在t中，然後更新j的值為i*h + j*k + t，更新i的值為i*k + t。

最後，當n變為0時，迴圈終止。此時，i的值就是斐波那契數列中第2000000個數的值。

通過使用快速冪演算法，我們只需要進行log(n)次迴圈，而不是n次迴圈，從而大大降低了計算量。在這個例子中，由於n=2000000，我們只需要進行log(2000000) ≈ 21次迴圈，而不是2000000次迴圈，從而提高了計算效率。

測試用例：

 1 using NUnit.Framework;
 2 using System;
 3 using System.Collections.Generic;
 4 using System.Numerics;
 5 
 6 public class FibonacciTest
 7 {
 8 
 9     [Test]
10     public void testFib()
11     {
12         List<int> tests = new List<int> { 0, 1, 2, 3, 4, 5, -6, -96, 1000, 1001 };
13 
14         Random rnd = new Random();
15         for (int i = 0; i < 10; ++i)
16         {
17             tests.Add(rnd.Next(-100, 0));
18         }
19         tests.Add(rnd.Next(10000, 100000));
20         tests.Add(rnd.Next(1000000, 1500000));
21 
22         foreach (int n in tests)
23         {
24             BigInteger found = Fibonacci.fib(n);
25             Assert.AreEqual(FibonacciRef.fib(n), found);
26         }
27     }
28     
29     private static class FibonacciRef
30     {
31         private static IDictionary<int, BigInteger> fibs = new Dictionary<int, BigInteger>();
32 
33         static FibonacciRef()
34         {
35             fibs[0] = BigInteger.Zero;
36             fibs[1] = BigInteger.One;
37             fibs[2] = BigInteger.One;
38             fibs[3] = fibs[2] + fibs[1];
39             fibs[4] = fibs[3] + fibs[2];
40             fibs[5] = fibs[4] + fibs[3];
41         }
42 
43         private static BigInteger calcFib(int n)
44         {
45             BigInteger result;
46             if (fibs.TryGetValue(n, out result))
47                 return result;
48 
49             if ((n & 1) == 1)
50             {
51 
52                 int k = (n + 1) / 2;
53                 BigInteger fk = BigInteger.Pow(calcFib(k), 2);
54                 BigInteger fkm1 = BigInteger.Pow(calcFib(k - 1), 2);
55                 result = fk + fkm1;
56             }
57             else
58             {
59                 int k = n / 2;
60                 BigInteger fk = calcFib(k);
61                 BigInteger fkm1 = calcFib(k - 1);
62                 result = (fkm1 * fibs[3] + fk) * fk;
63             }
64 
65             fibs[n] = result;
66             return result;
67         }
68 
69         public static BigInteger fib(int n)
70         {
71             bool neg = n < 0;
72 
73             if (neg)
74                 n = -n;
75 
76             BigInteger result = calcFib(n);
77 
78             if (neg && (n & 1) == 0)
79                 result = -result;
80 
81             return result;
82         }
83     }
84 }