NumPy 二項分佈生成與 Seaborn 可視化技巧

二項分佈

簡介

二項分佈是一種離散概率分佈，用於描述在固定次數的獨立試驗中，事件“成功”的次數的概率分佈。它通常用於分析諸如拋硬幣、做選擇題等具有兩個結果（成功或失敗）的事件。

參數

二項分佈用三個參數來定義：

n：試驗次數，表示重覆相同實驗的次數。
p：每次試驗中成功事件發生的概率。
k：成功事件發生的次數，範圍為 0 到 n。

公式

二項分佈的概率質量函數 (PMF) 給出了在 n 次試驗中恰好獲得 k 次成功的概率，計算公式為：

P(k) = C(n, k) p^k (1 - p)^(n - k)

其中：

C(n, k) 是組合數，表示從 n 個元素中選取 k 個元素的方案數。
p^k 表示 k 次成功的概率。
(1 - p)^(n - k) 表示 n - k 次失敗的概率。

生成二項分佈數據

NumPy 提供了 random.binomial() 函數來生成服從二項分佈的隨機數。該函數接受以下參數：

n：試驗次數。
p：每次試驗中成功事件發生的概率。
size：輸出數組的形狀。

示例：生成 10 次試驗中，每次成功概率為 0.5 的事件的成功次數：

import numpy as np

data = np.random.binomial(n=10, p=0.5, size=10)
print(data)

可視化二項分佈

Seaborn 庫提供了便捷的函數來可視化分佈，包括二項分佈。

示例：繪製 100 次試驗中，每次成功概率為 0.6 的事件的成功次數分佈：

import seaborn as sns
import numpy as np

data = np.random.binomial(n=100, p=0.6, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()

正態分佈與二項分佈的關係

當試驗次數 n 很大，成功概率 p 接近 0.5 時，二項分佈可以近似為正態分佈。其均值 μ 為 np，標準差 σ 為 sqrt(np(1 - p))。

示例：比較二項分佈和正態分佈的形狀：

import seaborn as sns
import numpy as np

n = 100
p = 0.5

# 生成二項分佈數據
data_binomial = np.random.binomial(n=n, p=p, size=1000)

# 生成正態分佈數據
mu = n p
sigma = np.sqrt(n p (1 - p))
data_normal = np.random.normal(loc=mu, scale=sigma, size=1000)

sns.distplot(data_binomial, label="Binomial")
sns.distplot(data_normal, label="Normal")
plt.legend()
plt.show()

練習

1. 在 50 次試驗中，每次成功概率為 0.2 的事件，模擬成功次數並繪製分佈圖。
2. 比較不同試驗次數下二項分佈形狀的變化。
3. 利用二項分佈來模擬一次 10 道選擇題的考試，每題答對的概率為 0.7，並計算平均分和及格率（60 分及格）。

解決方案

import seaborn as sns
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 模擬成功次數並繪製分佈圖
data = np.random.binomial(n=50, p=0.2, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()

# 2. 比較不同試驗次數下二項分佈形狀的變化
n_values = [10, 50, 100, 500]
for n in n_values:
    data = np.random.binomial(n=n, p=0.5, size=1000)
    sns.distplot(data, label=f"n={n}")
plt.legend()
plt.show()

# 3. 模擬考試成績並計算平均分和及格率
scores

最後

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