SciPy的linalg模塊是SciPy庫中的一個子模塊，它提供了許多用於線性代數運算的函數和工具，如矩陣求逆、特征值、行列式、線性方程組求解等。 相比於NumPy的linalg模塊，SciPy的linalg模塊包含更多的高級功能，並且在處理一些特定的數值計算問題時，可能會表現出更好的性能。 1. ...
SciPy的linalg模塊是SciPy庫中的一個子模塊，它提供了許多用於線性代數運算的函數和工具，如矩陣求逆、特征值、行列式、線性方程組求解等。
相比於NumPy的linalg模塊，SciPy的linalg模塊包含更多的高級功能，並且在處理一些特定的數值計算問題時，可能會表現出更好的性能。
1. 主要功能
scipy.linalg模塊主要功能包括：
| 類別 | 主要函數 | 說明 |
|---|---|---|
| 基礎運算 | 包含inv，slove等20多個函數 | 求解逆矩陣，線性方程等等 |
| 特征值問題 | 包含eig，eigvals等8個函數 | 求解各種類型矩陣的特征值 |
| 分解運算 | 包含lu，svd等將近30個函數 | 矩陣的LU分解，奇異值分解等等 |
| 矩陣運算 | 包含logm，sinm，cosm等10多個函數 | 計算矩陣的對數，指數，sin，cos等等 |
| 矩陣方程求解 | 包含solve_sylvester，solve_continuous_are等5個函數 | 計算西爾維斯特方程，CARE，DARE等代數方程 |
| 特殊矩陣運算 | 包含blcok_diag，circulant等將近30個函數 | 創建塊對角矩陣，迴圈矩陣，相伴矩陣等等 |
| 其他 | 包含4個函數 | BLAS，LSPACK等函數對象 |
Scipy庫的線性代數模塊包含將近100個各類函數，用於解決線性代數中的各類計算問題。
下麵演示幾種通過scipy.linalg來進行的常用計算。
2. 矩陣計算
提起線性代數，就不得不提矩陣運算。
2.1. 特征值
矩陣的特征值和特征向量是矩陣理論中的重要概念，它們分別代表了矩陣對某些向量進行變換時所具有的特定的拉伸和旋轉效果。
具體來說，對於一個給定的矩陣\(A\)，如果存在一個非零的向量\(v\)，使得\(Av\)是\(v\)的一個固定的倍數，
即\(Av = \lambda v\)，那麼\(\lambda\)就是\(A\)的一個特征值，\(v\)就是對應於特征值\(\lambda\)的特征向量。
特征值和特征向量在許多領域都有應用，包括圖像處理、信號處理、數據壓縮、物理學、經濟學等。
它們在求解線性方程組、判定矩陣的穩定性、計算矩陣的秩等數學問題中也有重要的應用。
import numpy as np
import scipy.linalg as sla
A = np.random.rand(3, 3)
sla.eigvals(A)
# 運行結果（返回特征值）
array([0.87067114+0.j, 0.25270355+0.j, 0.52811777+0.j])
sla.eig(A)
# 運行結果（返回特征值和特征向量）
(array([0.87067114+0.j, 0.25270355+0.j, 0.52811777+0.j]),
array([[-0.55290631, -0.88616977, -0.80241551],
[-0.73988407, 0.44869198, -0.51813093],
[-0.38323122, 0.11566608, 0.29609067]]))
eigvals函數返回的是特征值，eig函數返回的是特征值和對應的特征向量。
2.2. 奇異值
特征值和特征向量是針對方陣的，也就是NxN的矩陣。
實際場景中，很多矩陣並不是方陣，為了瞭解這類矩陣，就要對其進行奇異分解。
具體來說，對於一個m×n的矩陣A，奇異分解就是將其分解為三個矩陣的乘積：
- 一個
m×r的矩陣U - 一個
r×r的對稱正定矩陣S - 以及一個
r×n的矩陣V
其中r是由A的奇異值所決定的。A的奇異值就是S矩陣的對角線元素，也就是A的正特征值的非負平方根。
這些奇異值反映了矩陣A在一些方向上的拉伸或壓縮效果。
# 創建一個 4x3 的矩陣
A = np.random.rand(4, 3)
# 奇異分解，得到 U，S，V矩陣
U, S, V = sla.svd(A)
print("奇異值: {}".format(S))
# 運行結果
奇異值: [1.6804974 0.67865812 0.3322078 ]
2.3. 逆矩陣
逆矩陣是指對於一個n階方陣A，如果存在一個n階方陣B，使得AB=BA=E，
則稱方陣A是可逆的，並稱方陣B是A的逆矩陣。
其中E是單位矩陣。
逆矩陣的重要意義在於它可以表示為某個線性變換的逆變換，從而在逆變換的研究和應用中起到關鍵作用。
此外，逆矩陣還與方程組的解、行列式的性質等領域緊密相關。
A = np.random.rand(3, 3)
# 求解逆矩陣
sla.inv(A)
# 運行結果：
array([[-1.41573129, 0.13168502, 1.5952333 ],
[ 3.572943 , -1.02580488, 1.10932935],
[-2.82777937, 2.10823192, -2.39404249]])
# 非方陣
A = np.random.rand(4, 3)
# 非方陣求解逆矩陣會拋出異常
sla.inv(A)
# 運行結果：
ValueError: expected square matrix
Scipy庫用inv函數求解逆矩陣非常簡單，註意只有方陣能求解逆矩陣。
3. 線性方程組
其實求解線性方程組本質也是矩陣運算，比如下麵的線性方程組：
\(\begin{cases}
\begin{align*}
3x+2y-z \quad & = 1\\
-y+3z \quad & = -3 \\
2x-2z \quad & =2
\end{align*}
\end{cases}\)
求解方式轉換為繫數矩陣和結果向量，然後求解：
# 創建一個繫數矩陣
A = np.array([[3, 2, -1], [0, -1, 3], [2, 0, -2]])
# 創建一個結果向量
b = np.array([1, -3, 2])
# 使用solve函數求解線性方程組
ret = sla.solve(A, b)
# 輸出解向量
print("Solution vector ret:", ret)
# 運行結果：
Solution vector x: [ 0. -0. -1.]
4. 總結
本篇概要介紹了Scipy庫的linalg模塊，並演示瞭如何應用在求解矩陣和線性方程組。
linalg模塊提供了非常豐富的各類函數，這裡演示的幾個函數目的是為了展示其使用方法，
線性代數中的各類運算幾乎都可以在此模塊中找到相應的函數。
