減法器的設計與實現並用解碼器顯示16、10進位

大家新年好，我是呼嚕嚕，在上一篇簡易加法器里我們瞭解了半加器和全加器的設計與實現，今天我們來看下CPU中減法器是如何實現的。文章比較長，大家可以收藏反覆觀看

電腦為什麼利用反碼來實現減法？

我們來看一個最常見的例子，2-1 =1這是減法，但它等同於 2+ (-1) =1 這其實是加法。從運算邏輯上來說，減法可以通過加法來實現，這是可行的。
從硬體電路層面說，我們很容易讓電子實現彙總的效果，但是將電子群拆分出多個更小的集群，是不容易的。還有一個好處是利用加法器能實現減法的效果的話，就不需要再為減法器專門設計電路了，降低了電路的複雜度。

由於電腦採用的是二進位，和我們天生熟悉的十進位還是有區別的，那麼二進位能否實現用加法來實現減法效果？

很幸運地是，當初那群電腦那群工程師大拿將二進位玩的是爐火純青，通過原碼->反碼->補碼，一步步實現了二進位通過加法來實現減法效果。其中原理大家感興趣地，可以看看筆者之前的一篇文章 電腦中數值和字元串怎麼用二進位表示？

補碼真的是一個天生完美的奇妙存在，基於補碼的機制，減法可以轉化為加法，也就意味著電腦可以通過加法器實現減法。

看完筆者的那篇文章，我們知道了補碼產生的手動：正數原碼不變，負數的符號位不變, 其餘各位取反, 最後一位+1

減法器的實現

要實現原碼到補碼的轉換，需要一個取反器，我們先來寫出減法邏輯的真值表：

通過真值表，我們可以很容易發現這其實就是一個異或門(相同為0，不同為1)

我們來實現一個8位的取反器，由於是8位的，所以輸入選這8位輸入，還得連一個8位的分線器，輸出類似。異或門得有8個，每個都需和控制是否取反的輸入相連。

我們將之前的全加器和減法器結合起來，需要註意的是補碼需要取反再+1，取反可以將輸入和取反器相連，+1可以將全加器最低位的進位與控制取反的輸入相連即可，極簡單又巧妙

我們來啟動模擬，看下效果：

上圖計算結果，相當於：

1+1 =2
1-1 =0

但是上面有個問題是，1-1=0時，雖然燈泡是0，但是旁邊的溢出標誌顯示溢出了，我們還需改造一下。我們這裡簡單地，就直接讓減法不溢出即可（這種處理方式還是比較粗暴的，但是實現起來比較簡單）
我們來寫出溢出輸入IY，是否取反輸入IF(如果取反，就代表是減法操作)，溢出輸出O的真值表關係

我們可以推出公式：O=非IF * IY,所以需要非門和與門

這樣就減法時，就不會溢出了。但其實這個加法器只能做正數的減法(也就是輸入A得大於等於輸入B)，如果最後結果為負數的，還是有bug的。我們後面有機會再優化

7段數位管16進位顯示

由於用燈泡表示二進位，每次得出的結果，還要我們去換算成10進位，非常不直觀，我們接下來利用數位管，來將二進位數"翻譯"成10進位數。

我們這邊利用的是7段數位管來實現的，數位管其實就是多個LED燈，不同的位控制不同的LED。從第0位到第7位，通過控制不同的LED來組合出數字。第7位比較特殊，數位管顯示的是點

我們用上面的電路，一一將0~F16個數顯示出來，各個開關的情況記錄成下麵的表：

這其實就是7段數位管的共陰極對照表，還有共陽極對照表這裡我們就不展示了。

如果直接用組合電路來封裝8位輸入，7段數位管的16進位顯示，的確是可以的，但如果是16位，32位，64位輸入，電路會異常的複雜，我們這邊用儲存器ROM來實現這個功能

ROM只讀存儲器，是以非破壞性讀出方式工作，它非易失性存儲器，當電源被移除時，其數據內容不會被擦除，它還有個特點就是只能讀出而不能寫入信息，其所存的數據，一般是裝入整機前事先寫好的，整機工作過程中只能讀出。

需要註意的是: 雖然ROM和硬碟有一些共性，但不能簡單地說ROM就是硬碟

常常與ROM相比的還有一個RAM(隨機存取存儲器),也就是我們常說的主存，是與CPU直接交換數據的內部存儲器，它的特點：隨機存取、數據易失、對靜電敏感、訪問速度快、需要刷新。RAM在斷電以後保存在上面的數據會自動消失

我們使用ROM和7段數位管來顯示16進位的數0~F，選用地址位寬為4，數據位寬為8,只需把對應的數據提前寫入對應的地址中即可。

這裡需要註意一下，為什麼我們選用地址位寬為4，數據位寬為8的ROM？

首先我們需要明白(1111 1111)2 = (f f)16, 7段數位管可以表示0~F 16進位數，我們可以用2個7段數位管並聯將8位二進位數解碼成16進位數。
我們就先考慮1個7段數位管和ROM的關係，單個"f"也就是第16個數，也就是說4位二進位，即4位輸入，最大值為16

1. 地址位寬為4, 可以保證定址2^4=16,分別對應十六進位下的0~F
2. 數據位寬為8，相當於2個7段數位管，一個7段數位管需要4位輸入，2個就是8位輸入

我們想顯示16進位數，0~F，我們需要4位二進位輸入，其最大值1111，就是16(F)，結合上面的共陰極對照表，我們就能總結下麵的表：

根據對應關係，我們把電路和存儲器相應地址數據預先填進去

我們啟動模擬看下效果：

測試完成後，將4個開關換成4位輸入。接著我們將2個4位16進位解碼器並聯，就成了8位16進位解碼器，並封裝一下：

並將它與上文的全加器與減法器結合起來：

nice!

7段數位管10進位顯示

通過上一小節，我們成功把8位二進位數，"翻譯"成16進位數，但距離我們更熟悉的十進位還是有點距離的，我們本小節繼續改進7段數位管，實現10進位的解碼

由於(1111 1111)2 = (255)10, 最大值為255

ROM需要8位地址位寬，2^8 = 256，確保能夠將256個數（0 ~255）全部找到；255是3位數，我們至少需要3個數位管(也就是我們上一小節封裝的4位16進位解碼管)，1個數位管需要4位輸入，所以ROM數位管的數據位寬為12

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電路實現：我們可以使用8個開關，來表示8位輸入；選用8位地址位寬且數據位寬為12的ROM,通過8位3針腳的分線器和3個4位16進位解碼管相連即可。

由於ROM的查找表有255個數，不能像之前一樣一個個手動填寫，我們可以利用Python來實現(電腦中需要有Python3的環境)。

將其另存到桌面上為test.bin文件，用vscode打開該文件（需要安裝 hex editor插件來顯示二進位），以小端顯示：

test.py：

with open('test.bin', 'wb') as f:
    for i in range(256):
        var = str(i)
        var = int(var, base=16) //先轉成16進位
        byte = var.to_bytes(2, byteorder='little')// 再轉化成二進位，以顯示小端
        print(byte)
        f.write(byte)

將其放到test.bin 同級目錄後，直接運行命令python test,py後，test.bin就變成了：

這種55 02 其實是 255，31 02 為 231 , 像這種55 02 就是小端表示法。

將test.bin 重新載入到ROM中

我們來啟動模擬看看：

我們將輸入替換開關，然後封裝成8位10進位解碼器電路，接上之前的減法器的電路：

21選擇器 增強 10進位顯示

我們現在有個需求，001，前面的0不想要，就想要1，我們藉助21選擇器來實現 高位為零時，數位管不亮

我們先來看一下1位21選擇器，首先有2個輸入，分別為A和B，以及一個有效位EN，一個輸出S。我們的目的是實現：有效輸出A，無效輸出B。根據目的我們可以寫出真值表：

我們可以得出公式 S = EN與A + 非EN與B,進而可以畫出電路圖

封裝後，模擬一下：

我們繼續畫出8位21選擇器，只需將8個1位21選擇器組合在一起：

將其封裝一下，接著模擬測試：

7段數位管10進位顯示增強的電路，我們再重新設計一下：

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最後把其封裝一下，放到減法器和加法器的電路中，演示一下：

完美，這樣就實現了我們的目的。

尾語

本文我們將上一小篇文章中的簡易加法器進行來改進，通過補碼，讓加法器也是運算減法。接著為了讓我們觀察結果更加方便，我們使用了7段數位管實現了 16進位、10進位顯示，最終優化了10進位顯示，使其只顯示有效位的數值。

本系列到目前為止主要是組合邏輯電路的相關知識，後續我們會探究時序邏輯電路的奧秘，來看看開關究竟是如何實現CPU除計算功能外另一個重要的功能"記憶功能"。

參考資料：

1. 一個8位二進位CPU的設計和實現，躊躇月光
2. 《編碼：隱匿在電腦軟硬體背後的語言》
3. 《穿越電腦的迷霧》
4. 深入淺出電腦組成原理，徐文浩
5. 運行記憶體,百度百科

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