DP 優化方法合集

来源:https://www.cnblogs.com/Jerry-Jiang/archive/2022/08/09/16565671.html
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0. 前言 寫完這篇文章後發現自己對於 DP 的優化一竅不通,所以補了補 DP 的一些優化,寫篇 blog 總結一下。 1. 單調隊列/單調棧優化 1.2 演算法介紹 這應該算是最基礎的 DP 優化方法了。 顧名思義,單調隊列/單調棧優化 DP 就是保持容器內元素的單調性,以達成減少冗餘狀態的目的。 ...


0. 前言

寫完這篇文章後發現自己對於 DP 的優化一竅不通,所以補了補 DP 的一些優化,寫篇 blog 總結一下。

1. 單調隊列/單調棧優化

1.2 演算法介紹

這應該算是最基礎的 DP 優化方法了。

顧名思義,單調隊列/單調棧優化 DP 就是保持容器內元素的單調性,以達成減少冗餘狀態的目的。

舉單調隊列的例子來說,當一個元素的兩種屬性(例如下標和權值)都優於另一元素時,就可以用此元素更換掉另一元素。這也正是 OI 界流傳說法“當一個人比你小且比你強時,你就被彈出單調隊列了”的原理。

我們以下麵的例題作為例子來更具體地闡述這個演算法。

1.3 適用範圍&區別

一般來說,形如 \(f(i)=\max(f(j)+F(i)+F(j))\) 的式子都可以考慮適用單調隊列/單調棧進行優化。(其中 \(F(i)\)\(F(j)\) 表示和 \(i,j\) 有關的函數)

應該大部分人剛學這兩種東西的時候都有一種疑惑:啥時候用單調隊列,啥時候用單調棧呢?(至少我有

其實,它們兩的本質區別還是其結構上的區別。單調棧通常用新加進來的東西替換掉一些棧頂元素,而單調隊列是可能兩端同時修改的。

在一下例題中我也會著重分析兩者的使用。

1.4 例題

I. P1886 滑動視窗

題目鏈接

這個不是優化 DP,就是最經典的裸的不能再裸的單調隊列。

大力單調隊列即可,時間複雜度 \(O(n)\)

II. CF372C Watching Fireworks is Fun

題目鏈接
OI Wili 推薦的題

題目大意:一個數軸上有 \(n\) 個點,每個點在位置 \(a_i\),有 \(m\) 個煙花要放,開始時間 \(t_i\)。你一開始的位置隨便,每一單位時間可以最多走 \(d\) 這麼多的距離,在 \(x\) 看到第 \(i\) 個煙花的快樂值為 \(b_i-|a_i-x|\),求最大的總代價。

數據範圍:\(n\leq 150000,m\leq 300\)

看到這個數據範圍就知道大概是 \(O(nm)\) 的演算法(最多要卡卡常)。

我們容易設計出 DP 狀態 \(f(i,j)\) 表示放第 \(i\) 個煙花,位置在 \(j\) 時的最大快樂值。

轉移:\(f(i,j)=\max_{j-(t_i-t_{i-1})\cdot d_i\leq k\leq j+(t_i-t_{i-1})\cdot d_i}(f(i-1,k)+b_i-|a_i-j|)\)

接下來就需要對 DP 進行優化了,首先因為當 \(i\)\(j\) 確定時 \(b_i-|a_i-j|\) 可以看做常數,剩下的就可以用單調隊列去維護了。

註:本題使用單調隊列的原因為 \(k\) 兩邊都有限制,需要頭尾都更新。

時間複雜度 \(O(nm)\)

代碼

III. P3572 [POI2014]PTA-Little Bird

題目鏈接

IV. P1973 [NOI2011] NOI 嘉年華

題目鏈接

V. P2254 [NOI2005] 瑰麗華爾茲

題目鏈接

2. 斜率優化

斜率優化自己學過好幾遍,也聽 dalao 講過,但是總是感覺半懂不懂的。這次索性把它給搞徹底了罷……

2. 1 演算法介紹

以 OI Wiki 上的例題為例。

題目大意:有 \(n\) 個玩具,每個玩具有一個價值 \(c_i\)。你需要將這 \(n\) 個玩具分成若幹段,設一段 \([l,r]\) 的代價為 \((r-l+\sum_{i=l}^rc_i-L)^2\),其中 \(L\) 為常數,求最小的總代價。

數據範圍:\(n\leq 5\times 10^4\)

使用 DP 優化的一般思路:先設計出一個超時的 DP 再優化。

\(f_i\) 表示前 \(i\) 個玩具的代價,那麼得出轉移方程為:

\[f_i=\min_{j=0}^{i-1}\{f_j+(i-j-1+\sum_{k=j+1}^ic_k+L)^2\} \]

用首碼和表示後即為:

\[f_i=\min_{j=0}^{i-1}\{f_j+(i-j-1+S_i-S_j+c_k+L)^2\} \]

其中 \(S_i=\sum_{k=1}^ic_k\)

這就是朴素的 \(O(n^2)\) 的 DP。

下麵就要優化了,不過有個問題:DP 跟斜率有什麼關係呢?

考慮將 DP 轉移方程轉化為解析幾何中直線的斜截式方程 \(y=kx+b\) 的形式。

我們先將只和 \(i,j\) 有關的歸為一類,常數歸為一類:\(a_i=s_i+i,b_i=s_i+i+L+1\),然後原式可以寫成:

\[f_i=\min_{j=0}^{i-1}\{f_j+(a_i-a_j)^2\} \]

然後可以令 \(y=f_j+b_j^2,k=2a_i,x=b_j\)。(P.S. 這個應該只要滿足 \(y=kx+b\) 都可以?)

此時需要最小化直線的截距,先將這些 \((x,y)\) 表示在平面直角坐標系中:

image

可以看到藍線連成了一個下凸殼,第一個紅線碰到的點使截距最小。

下麵的問題就是怎樣維護這個凸包,發現存在斜率遞增,所以可以用單調隊列來維護。

代碼

2.2 例題

I. P4072 [SDOI2016]征途

題目鏈接

998244352. 參考資料

第 1 章:

第 2 章:

本文來自博客園,作者:Jerry_Jiang,轉載請註明原文鏈接:https://www.cnblogs.com/Jerry-Jiang/p/16565671.html


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