前端學演算法之演算法複雜度

前面的話

　　本文將詳細介紹演算法複雜度

大O表示法

　　大O表示法是描述演算法的性能和複雜程度。 分析演算法時，時常遇到以下幾類函數

符號             名稱
O(1)            常數的
O(log(n))        對數的
O((log(n))c)    對數多項式的
O(n)            線性的
O(n2)            二次的
O(nc)            多項式的
O(cn)            指數的

　　如何衡量演算法的效率？通常是用資源，例如CPU（時間）占用、記憶體占用、硬碟占用和網路占用。當討論大O表示法時，一般考慮的是CPU（時間）占用

　　下麵用一些例子來理解大O表示法的規則

【O(1)】

function increment(num){ 
  return ++num;
}

　　假設運行increment(1)函數，執行時間等於X。如果再用不同的參數（例如2）運行一次increment函數，執行時間依然是X。和參數無關，increment函數的性能都一樣。因此，我們說上述函數的複雜度是O(1)（常數）

【O(n)】

　　現在以順序搜索演算法為例：

function sequentialSearch(array, item){ 
  for (var i=0; i<array.length; i++){
    if (item === array[i]){ //{1} 
      return i;
    }
  }
  return -1;
}

　　如果將含10個元素的數組（[1, ..., 10]）傳遞給該函數，假如搜索1這個元素，那麼，第一次判斷時就能找到想要搜索的元素。在這裡我們假設每執行一次行{1} ，開銷是1。

　　現在，假如要搜索元素11。行{1}會執行10次（遍曆數組中所有的值，並且找不到要搜索的元素，因而結果返回 -1）。如果行{1}的開銷是1，那麼它執行10次的開銷就是10，10倍於第一種假設

　　現在，假如該數組有1000個元素（[1, ..., 1000]）。搜索1001的結果是行{1}執行了1000次（然後返回-1）

　　sequentialSearch函數執行的總開銷取決於數組元素的個數（數組大小），而且也和搜索的值有關。如果是查找數組中存在的值，行{1}會執行幾次呢？如果查找的是數組中不存在的值，那麼行{1}就會執行和數組大小一樣多次，這就是通常所說的最壞情況

　　最壞情況下，如果數組大小是10，開銷就是10；如果數組大小是1000，開銷就是1000。可以得出sequentialSearch函數的時間複雜度是O(n)，n是（輸入）數組的大小

　　回到之前的例子，修改一下演算法的實現，使之計算開銷：

function sequentialSearch(array, item){
 var cost = 0;
 for (var i=0; i<array.length; i++){
  cost++;
  if (item === array[i]){ //{1}
    return i;
  }
 }
 console.log('cost for sequentialSearch with input size ' +  array.length + ' is ' + cost);
 return -1;
} 

　　用不同大小的輸入數組執行以上演算法，可以看到不同的輸出

【O(n²)】

　　用冒泡排序做O(n2)的例子：

function swap(array, index1, index2){
 var aux = array[index1];
 array[index1] = array[index2];
 array[index2] = aux;
}
function bubbleSort(array){
 var length = array.length;
 for (var i=0; i<length; i++){ //{1}
  for (var j=0; j<length-1; j++ ){ //{2}
    if (array[j] > array[j+1]){
      swap(array, j, j+1);
    }
  }
 }
} 

　　假設行{1}和行{2}的開銷分別是1。修改演算法的實現使之計算開銷：

function bubbleSort(array){
 var length = array.length;
 var cost = 0;
 for (var i=0; i<length; i++){ //{1}
  cost++;
  for (var j=0; j<length-1; j++ ){ //{2}
    cost++;
    if (array[j] > array[j+1]){
      swap(array, j, j+1);
    }
  }
 }
 console.log('cost for bubbleSort with input size ' + length + ' is ' + cost);
} 

　　如果用大小為10的數組執行bubbleSort，開銷是100（10²）。如果用大小為100的數組執 行bubbleSort，開銷就是10 000（100²）。需要註意，我們每次增加輸入的大小，執行都會越來越久

　　時間複雜度O(n)的代碼只有一層迴圈，而O(n²)的代碼有雙層嵌套迴圈。如 果演算法有三層遍曆數組的嵌套迴圈，它的時間複雜度很可能就是O(n³)

時間複雜度

　　下圖比較了前述各個大O符號表示的時間複雜度：

　　下表是常用數據結構的時間複雜度

　　下表是圖的時間複雜度： 

　　下表是排序演算法的時間複雜度： 

　　下表是搜索演算法的時間複雜度： 

NP

　　一般來說，如果一個演算法的複雜度為O(n^k)，其中k是常數，我們就認為這個演算法是高效的，這就是多項式演算法

　　對於給定的問題，如果存在多項式演算法，則計為P（polynomial，多項式）

　　還有一類NP（nondeterministicpolynomial，非確定性多項式）演算法。如果一個問題可以在多項式時間內驗證解是否正確，則計為NP。如果一個問題存在多項式演算法，自然可以在多項式時間內驗證其解。因此，所有的P都是NP。然而，P=NP是否成立，仍然不得而知。NP問題中最難的是NP完全問題，它滿足以下兩個條件：(1)是NP問題，也就是說，可以在多項式時間內驗證解，但還沒有找到多項式演算法；(2)所有的NP問題都能在多項式時間內歸約為它。為了理解問題的歸約，考慮兩個決策問題L和M。假設演算法A可以解決問題L，演算法B可以驗證輸入y是否為M的解。目標是找到一個把L轉化為M的方法，使得演算法B可以用於構造演算法A

　　還有一類問題，只需滿足NP完全問題的第二個條件，稱為NP困難問題。因此，NP完全問題也是NP困難問題的子集

　　下麵是滿足P < > NP時，P、NP、NP完全和NP困難問題的歐拉圖： 

　　非NP完全的NP困難問題的例子有停機問題和布爾可滿足性問題（SAT）。 NP完全問題的例子有子集和問題、旅行商問題、頂點覆蓋問題等等

　　我們提到的有些問題是不可解的。然而，仍然有辦法在符合要求的時間內找到一個近似解。啟髮式演算法就是其中之一。啟髮式演算法得到的未必是最優解，但足夠解決問題了。啟髮式演算法的例子有局部搜索、遺傳演算法、啟髮式導航、機器學習等