[leetcode]不同路徑三連擊～

題目 不同路徑 1

一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為“Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為“Finish”）。

問總共有多少條不同的路徑？

輸入說明

例如，上圖是一個 7 x 3 的網格。有多少可能的路徑？

說明：m 和 n 的值均不超過 100。

示例 1:

輸入: m = 3, n = 2
輸出: 3
解釋:
從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

分析

這題我第一眼就是想到 dp 23333，既然機器人只能向下或者向右，那麼哪一步可以到達右下角呢?

只能是右下角的上邊或者左邊走一步，是吧，那麼假設 f(n,m) 是最後一步的路徑數則是上邊 f(n-1,m) 加左邊 f(n,m-1)

即：

f(n,m)=f(n-1,m)+f(n,m-1)

而第一行和第一列因為只有一種方向所以都是 1 ～～

代碼還用寫？

要的

直觀一點套公式走起

 int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m==1 || n==1) return 1;
        int nums[m][n];
        for(int i=0; i<n; i++){
            nums[0][i] = 1;
        }
        for(int i=0; i<m; i++){
            nums[i][0] = 1;
        }

        for(int i=1; i<m; i++)
            for(int j=1; j<n; j++){
                nums[i][j] = nums[i][j-1] + nums[i-1][j];
            }
        return nums[m-1][n-1];
    }

時間複雜度：O(m*n)

空間複雜度：O(m*n)

在這裡我們是使用了二維數組來記錄每一行的路徑，但是我們真的需要每一行的路徑記錄嗎？

所以我想了一下改成一維數組：

 int uniquePaths(int m, int n) {
       int nums[n];
      for (int i = 0; i < n; i++) {
          nums[i] = 1;
      }

      for (int i = 1; i < m; i++) {
          for (int j = 1; j < n; j++) {
              nums[j] = nums[j] + nums[j - 1];
          }
      }
      return nums[n - 1];
  }

時間複雜度：O(m*n)

空間複雜度：O(n)

能看懂嗎？

應該不用解釋了吧 0.0

再度分析：另一種解法

那麼如果只能向下或者向右，而都是從左上角走到右下角，意味著機器人向下和向右都是固定的次數

即是向下 m－1 步，向右 n－1 步，總共走了 c ＝ m+n-2 步
那麼總是向右和向下的組合，是不是直接使用排列組合的組合公式求出就行了呢，23333

ps：其實想寫出公式的，但是不怎麼會用math格式 orz

馬上來試試！！

  int uniquePaths(int m, int n) {
      int d = m - 1; //向下的步數
      int c = n + m - 2;  //總共的步數
      long num = 1; //結果，乘法累計所以初始化1
      for (int i = 1; i <= d; i++)
        num = num * (c - d + i) / i;
      return (int) num;
  }

時間複雜度：O(m)

空間複雜度：O(1)

完美 233

後面還有兩道題目修改的 2 、3 所以未完待續.....