洛谷P4424 [HNOI/AHOI2018]尋寶游戲(思維題)

題意

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Sol

神仙題Orz

Orz zbq爆搜70。。

考慮"與"和"或"的性質

\(0 \& 0 = 0, 1 \& 0 = 0\)

\(0 \mid 1 = 1, 1 \mid 1 = 1\)

也就是說某一個數\(\& 0\)之後不管之前是什麼，現在的值變為\(0\)

某一個數\(\mid 1\)之後不管之前的是什麼，現在的值變為\(1\)

繼續考慮

\(0 \& 1 = 0, 1 \& 1 = 1\)

\(0 \mid 0 = 0, 1 \mid 0 = 1\)

這個時候我們把\(\&\)看做是1，\(\mid\)看做是\(0\)

那麼對於上面這兩條式子，可以看出若某個數和前面的運算符相同，之前的值不會發生改變

這時候考慮如何計算答案，對於每次詢問，若某一位上是\(1\)

那麼我們把每一列上的數和他之前的操作符分別拿出來看成一些序列，顯然這個序列要滿足最後一個\(\mid 1\)要在\(\& 0\)之後

那麼這兩個序列應該長這個樣子：

\(101010 \dots 0 \dots 1\)

\(101010 \dots 1 \dots 0\)

我們會驚奇的發現，第一個式子一定大於第二式子。同理如果詢問的位置是\(0\)的話，第一個式子應該小於第二個式子

又因為第二個式子的\(0/1\)可以任意取。那麼答案應該是\(min_1 - max_0\)，\(min_1\)表示詢問位置上的值是\(1\)對應的列的最小值(每一列的第一行是最低位)。

這樣的複雜度是\(O(nmq)\)

實際上每次詢問至於每一列的大小有關，我們可以先按照字元串的大小排一遍序(搞出類似尾碼數組中的sa和rak數組)，這樣每次詢問就只需要計算兩個串的答案了

複雜度：\(O(mn\log m + mq)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long 
using namespace std;
const int MAXN = 5e5 + 10, INF = 1e9 + 7, mod = 1000000007;
template<typename A, typename B> inline void chmax(A &x, B y) {
    x = x > y ? x : y;
}
template<typename A, typename B> inline void chmin(A &x, B y) {
    x = x < y ? x : y;
}
template<typename A, typename B> inline void add2(A &x, B y) {
    x = (x + y >= mod ? x + y - mod : x + y);
}
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, M, Q, v[MAXN], rak[MAXN], po2[MAXN], sa[MAXN], val[MAXN];
char a[1002][5002], q[5001];
int comp(const int &x, const int &y) {
    for(int i = N; i >= 1; i--)
        if(a[i][x] == '0' && a[i][y] == '1') return 1;
        else if(a[i][x] == '1' && a[i][y] == '0') return 0;
    return 0;
}
int trans(int id) {
    int ans = 0;
    for(int i = N; i >= 1; i--) 
        if(a[i][id] == '1') add2(ans, po2[i - 1]);
    return ans;
}
int main() {
//  freopen("a.in", "r", stdin);
    N = read(); M = read(); Q = read(); po2[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= N; i++) scanf("%s", a[i] + 1), po2[i] = (po2[i - 1] * 2) % mod;
    for(int i = 1; i <= N; i++) a[i][M + 1] = '1', a[i][0]= '0'; 
    for(int i = 1; i <= M + 1; i++) sa[i] = i;
    sort(sa + 1, sa + M + 2, comp);
    for(int i = 1; i <= M + 1; i++) rak[sa[i]] = i;
    for(int i = 1; i <= M + 1; i++) val[i] = trans(i); val[M + 1]++;//不++就比答案少1，加了莫名其妙就過了。。。 
    for(int i = 1; i <= Q; i++) {
        scanf("%s", q + 1);
        int r = M + 1, l = 0;
        for(int j = 1; j <= M; j++) 
            if(q[j] == '1') chmin(r, rak[j]);
            else chmax(l, rak[j]);
        if(l > r) puts("0");
        else cout << (val[sa[r]] - val[sa[l]] + mod) % mod << '\n';
    }
    return 0;
}
/*
3
0 1 1
5 7 3
*/