問題 已知某應力張量的分量為 $$ \sigma_{11}=3,\quad\sigma_{12} = \sigma_{13} = 1, \quad \sigma_{22} = \sigma_{33} = 0, \quad\sigma_{23} = 2 $$ 求 1、全部主應力 2、最大主應力對應的主 ...
問題
已知某應力張量的分量為
\[
\sigma_{11}=3,\quad\sigma_{12} = \sigma_{13} = 1, \quad \sigma_{22} = \sigma_{33} = 0, \quad\sigma_{23} = 2
\]
求
應力張量
已知應力張量有如下形式
\[ \left[ \begin{array}{ccc} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_{y} & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{z} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right] \]
求解
導入sympy模塊
from sympy import *
init_printing(use_unicode=True)Matrix對象表示應力矩陣
sigma = Matrix([[3, 1, 1], [1, 0, 2], [1, 2, 0]])
sigma\[\left[\begin{matrix}3 & 1 & 1\\1 & 0 & 2\\1 & 2 & 0\end{matrix}\right]\]
1、求全部主應力
求特征值
- 調用 Matrix 對象的 eigenvals 方法
sigma.eigenvals()\[\left \{ -2 : 1, \quad 1 : 1, \quad 4 : 1\right \}\]
- 冒號後的數字表示一重特征值
求特征矢量
- 調用 Matrix 對象的 eigenvects 方法
sigma.eigenvects()\[\left [ \left ( -2, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}0\\-1\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 1, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}-1\\1\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 4, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}2\\1\\1\end{matrix}\right]\right ]\right )\right ]\]
2、求最大主應力對應的主方向
最大主應力
\[\sigma_1 = 4\]
最大主應力對應的主方向
\[\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(2, 1, 1\right)\]
3、求斜面上的正應力 \(\sigma_n\) 和剪應力 \(\tau_n\)
方向矢量
\[\boldsymbol{n} = \left(0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
n = Matrix([[0], [1], [1]])/sqrt(2)
n\[\left[\begin{matrix}0\\\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right]\]
應力矢量 \(\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}\)
T = sigma*n
T\[\left[\begin{matrix}\sqrt{2}\\\sqrt{2}\\\sqrt{2}\end{matrix}\right]\]
正應力 \(\sigma_n = \boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{n}\)
sigma_n = T.T*n
sigma_n\[\left[\begin{matrix}2\end{matrix}\right]\]
剪應力
\[\tau_n = \sqrt{T^2 - \sigma_n^2}\]
tau_n =sqrt(T.T*T - sigma_n**2)
tau_n\[\left(\left[\begin{matrix}2\end{matrix}\right]\right)^{\frac{1}{2}}\]
