演算法（第四版）C#題解——1.1

来源:http://www.cnblogs.com/ikesnowy/archive/2017/06/12/6992822.html
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寫在前面整個項目都托管在了 Github 上：https://github.com/ikesnowy/Algorithms-4th-Edition-in-Csharp善用 Ctrl + F 查找題目。本節你可能會需要的兩個測試數據文件：largeW: http://algs4.cs.princeto... ...


寫在前面

整個項目都托管在了 Github 上：https://github.com/ikesnowy/Algorithms-4th-Edition-in-Csharp

善用 Ctrl + F 查找題目。

本節你可能會需要的兩個測試數據文件：

largeW: http://algs4.cs.princeton.edu/11model/largeW.txt

largeT: http://algs4.cs.princeton.edu/11model/largeT.txt

習題 & 題解

練習（1.1.1~1.1.25）

1.1.1
題目

給出以下表達式的值：

a. (0 + 15) / 2
b. 2.0e-6 * 100000000.1
c. true && false || true && true

解答

a.7
b.1562500.0015625
c.True

代碼
        static void Main(string[] args)
        {
            int a = (0 + 15) / 2;
            double b = Math.Pow(2.0, -6) * 100000000.1; //Math.Pow(double x, double y) 求x的y次方
            bool c = true && false || true && true;

            //Console.WriteLine 向控制台視窗輸出一行
            Console.WriteLine($"a.{a}");
            Console.WriteLine($"b.{b}");
            Console.WriteLine($"c.{c}");
        }
1.1.2
題目

給出以下表達式的類型和值：

a. (1 + 2.236) / 2
b. 1 + 2 + 3 + 4.0
c. 4.1 >= 4
d. 1 + 2 + "3"

解答

        Name    Type            Value
        a       System.Double   1.618
        b       System.Double   10
        c       System.Boolean  True
        d       System.String   33

代碼
        static void Main(string[] args)
        {
            //var 變數名 = 初始值  根據初始值自動判斷變數類型
            var a = (1 + 2.236) / 2;
            var b = 1 + 2 + 3 + 4.0;
            var c = 4.1 >= 4;
            var d = 1 + 2 + "3";

            //Console.WriteLine 向控制台輸出一行
            //變數名.GetType() 返回變數類型
            //Type.ToString() 將類型名轉換為字元串

            Console.WriteLine("\tName\tType     \tValue");
            Console.WriteLine($"\ta\t{a.GetType().ToString()}\t{a}");
            Console.WriteLine($"\tb\t{b.GetType().ToString()}\t{b}");
            Console.WriteLine($"\tc\t{c.GetType().ToString()}\t{c}");
            Console.WriteLine($"\td\t{d.GetType().ToString()}\t{d}");
        }
1.1.3
題目

編寫一個程式，從命令行獲取三個整數參數。
如果它們都相等則列印 equal，
否則列印 not equal。

解答

簡單的 if 判斷即可

代碼
        static void Main(string[] args)
        {
            //Console.ReadLine() 從控制台讀入一整行（返回int）
            //string.Split(char) 根據提供的分隔符將字元串分割，返回字元串數組
            //Int32.Parse(string) 將字元串轉換為相應的整型數據
            string input = Console.ReadLine();
            int a = Int32.Parse(input.Split(' ')[0]);
            int b = Int32.Parse(input.Split(' ')[1]);
            int c = Int32.Parse(input.Split(' ')[2]);

            //Console.WriteLine() 向控制台輸出一行
            if (a == b && b == c)
            {
                Console.WriteLine("equal");
            }
            else
            {
                Console.WriteLine("not equal");
            }
        }
1.1.4
題目

下列語句各有什麼問題（如果有的話）？
a. if (a > b) then c = 0;
b. if a > b { c = 0; }
c. if (a > b) c = 0;
d. if (a > b) c = 0 else b = 0;

解答

a. if 後跟 then 的語法不能在 C# 中使用。

b. if 後的判斷語句需要在括弧內。

c. 正確，只有一條語句時大括弧可以省略。

d. c = 0 後缺少分號。

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            int a = 1;
            int b = 2;
            int c = 0;

            //if (a > b) then c = 0; 
            //if 後不能跟 then

            //if a > b { c = 0; } 
            //if後必須跟括弧

            if (a > b) c = 0;
            //正確

            //if (a > b) c = 0 else b = 0; 
            //c = 0後缺少分號

        }
1.1.5
題目

編寫一段程式，
如果 double 類型的變數 x 和 y 都嚴格位於 0 和 1 之間則列印 true
否則列印 false。

解答

比較簡單，直接判斷即可。

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            //修改這兩個值進行測試
            double x = 0.05;
            double y = 0.01;

            if (x > 0 && x < 1 && y > 0 && y < 1)
            {
                Console.WriteLine("true");
            }
            else
            {
                Console.WriteLine("false");
            }
        }
1.1.6
題目

下麵這段程式會列印出什麼？

解答

輸出斐波那契數列。

將書中的代碼直接實現即可。

代碼
//輸出斐波那契數列
        static void Main(string[] args)
        {
            int f = 0;
            int g = 1;
            for (int i = 0; i <= 15; i++)
            {
                //Console.WriteLine與StdOut.println功能相同
                //實現向控制台輸出一行
                Console.WriteLine(f);
                f = f + g;
                g = f - g;
            }
        }
1.1.7
題目

分別給出以下代碼段列印出的值。

解答

同上題，直接實現即可。

a
3.00009

double計算存在誤差，並不精確。

b
499500

1000 + 999 + 998……

c
10000

1000 * 10，外層迴圈的結束條件為 2i > 1000。

代碼
private static void a()
        {
            Console.WriteLine("a");
            double t = 9.0;
            while (Math.Abs(t - 9.0 / t) > .001)
            {
                t = (9.0 / t + t) / 2.0;
            }
            Console.Write($"{t:N5}\n");//:N5代表保留5位小數，同理可使用N1、N2……
        }

        private static void b()
        {
            Console.WriteLine("\nb");
            int sum = 0;
            for (int i = 1; i < 1000; i++)
            {
                for (int j = 0; j < i; j++)
                {
                    sum++;
                }
            }
            Console.WriteLine(sum);
        }

        private static void c()
        {
            Console.WriteLine("\nc");
            int sum = 0;
            for (int i = 1; i < 1000; i *= 2)
            {
                for (int j = 0; j < 1000; j++)
                {
                    sum++;
                }
            }
            Console.WriteLine(sum);
        }

        static void Main(string[] args)
        {
            //a double 計算存在誤差
            a();

            //b 1000+999+998……
            b();

            //c 由於2^10 = 1024 > 1000，最終sum = 1000 * 10 = 10000
            c();
        }
1.1.8
題目

下列語句會列印出什麼結果？給出解釋。

解答

b
197
e

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine('b');
            Console.WriteLine('b' + 'c'); //char 被隱式轉為為 int 類型，取 ascii 碼
            Console.WriteLine((char)('a' + 4)); //強制轉換後，ascii 碼被轉換為相應的字元
        }
1.1.9
題目

編寫一段代碼，將一個正整數N用二進位表示並轉換為一個 String 類型的值 s。

解答

有兩種方法，要麼直接調用庫函數，要麼用書中給出的代碼轉換。

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            int N = 4;

            //1.直接轉換 Convert.ToString(int, int) 第一個為要轉換的數，第二個為要轉換的進位
            Console.WriteLine($"{Convert.ToString(N, 2)}");

            //2.轉換為二進位數
            string s = "";
            for (int n = N; n > 0; n /= 2)
            {
                s = (n % 2) + s;
            }
            Console.WriteLine(s);
        }
1.1.10
題目

下麵這段代碼有什麼問題？

解答

變數使用前需要先賦值。

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            int[] a;
            for (int i = 0; i < 10; i++)
            {
                a[i] = i * i; //不允許使用未賦值的局部變數
            }
        }
1.1.11
題目

編寫一段代碼，列印出一個二維布爾數組的內容。
其中，使用 * 表示真，空格表示假，列印出行號和列號。

解答

註意，二維數組 bool[M, N] 代表 M 行 N 列的布爾數組。

使用二重迴圈即可實現。

輸出使用製表符 ’\t’ 作為分隔。

代碼
static void PrintArray2D(bool[,] array)
        {
            int rows = array.GetLength(0);//獲取行數
            int columns = array.GetLength(1);//獲取列數

            //輸出列號
            for (int i = 0; i < columns; i++)
            {
                Console.Write($"\t{i + 1}");
            }

            Console.Write("\n");

            for (int i = 0; i < rows; i++)
            {
                //輸出行號
                Console.Write($"{i + 1}");
                for (int j = 0; j < columns; j++)
                {
                    if (array[i, j])
                    {
                        Console.Write($"\t*");
                    }
                    else
                    {
                        Console.Write($"\t ");
                    }
                }
                Console.Write("\n");
            }
        }
1.1.12
題目

以下代碼段會列印出什麼結果？

解答

第一個迴圈初始化數組{9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}

第二個迴圈用相應位置的值作為下標取值，例如：a[0] = a[a[0]] = a[9] = 0

最後結果為：0,1,2,3,4,4,3,2,1,0

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            int[] a = new int[10];
            for (int i = 0; i < 10; i++)
            {
                a[i] = 9 - i;
            }
            //a[10] = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}
            for (int i = 0; i < 10; i++)
            {
                a[i] = a[a[i]];
            }
            //a[0] = a[9] = 0; a[1] = a[8] = 1; a[2] = a[7] = 2;......
            for (int i = 0; i < 10; i++)
            {
                Console.WriteLine(a[i]);
            }
        }
1.1.13
題目

編寫一段代碼，列印出一個 M 行 N 列的二維數組的轉置。

解答

轉置輸出只需要在二重迴圈的時候將行、列輸出順序取反即可。

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            int M = 2;
            int N = 3;
            int[,] array = new int[M, N];

            //新建一個二維數組
            for (int i = 0; i < M; i++)
            {
                for (int j = 0; j < N; j++)
                {
                    array[i, j] = i + j;
                }
            }

            Console.WriteLine("Origin");
            PrintArray2D(array, M, N);

            Console.WriteLine("Transposed");
            PrintArrayTranspose2D(array, M, N);
        }

        //轉置輸出
        private static void PrintArrayTranspose2D(int[,] array, int rows, int columns)
        {
            //交換行、列輸出順序
            for (int i = 0; i < columns; i++)
            {
                for (int j = 0; j < rows; j++)
                {
                    Console.Write($"\t{array[j, i]}");
                }
                Console.Write("\n");
            }
        }

        //正常輸出
        private static void PrintArray2D(int[,] array, int rows, int columns)
        {
            for (int i = 0; i < rows; i++)
            {
                for (int j = 0; j < columns; j++)
                {
                    Console.Write($"\t{array[i, j]}");
                }
                Console.Write("\n");
            }
        }
1.1.14
題目

編寫一個靜態方法lg()，接受一個整型參數N，返回不大於log2(N)的最大整數。
不要使用 Math 庫。

解答

簡單使用 log 的定義逼近即可。

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            int N = 9;
            Console.WriteLine($"{ lg(N)}");
        }

        //利用迴圈逼近 N，得到 log2(N) 的值
        static int lg(int N)
        {
            int baseNumber = 2;
            int pow = 1;
            int sum = 2;

            for (pow = 1; sum < N; ++pow)
            {
                sum *= baseNumber;
            }

            return pow - 1;
        }
1.1.15
題目

編寫一個靜態方法 histogram()，
接受一個整型數組 a[] 和一個整數 M 作為參數並返回一個大小為 M 的數組，
其中第 i 個元素的值為整數 i 在參數數組中出現的次數。
如果 a[] 中的值均在 0 到 M-1 之間，
返回數組中所有元素之和應該和 a.length 相等。

解答

利用二重迴圈，查找每個值在數組中出現的次數。

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            int[] a = new int[10];
            int M = 10;
            for (int i = 0; i < 10; ++i)
            {
                a[i] = i;
            }

            int[] result = Histogram(a, M);

            Console.WriteLine($"a.length: {a.Length}");
            Console.WriteLine($"sum of result array: {result.Sum()}");
        }

        static int[] Histogram(int[] a, int M)
        {
            int[] result = new int[M];

            for (int i = 0; i < M; ++i)
            {
                //初始化
                result[i] = 0;

                //遍曆數組，計算數組中值為 i 的元素個數
                for (int j = 0; j < a.Length; ++j)
                {
                    if (a[j] == i) //值為 i 的元素
                    {
                        result[i]++;
                    }
                }
            }

            return result;
        }
1.1.16
題目

給出 exR1(6) 的返回值。

解答

填入代碼測試即可。

用字元串拼接的方式展示遞歸。

類似於這個：

2016641019231977

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine($"{exR1(6)}");
        }

        //exR1(6) = 
        //exR1(3) + 6 + exR1(4) + 6
        //exR1(0) + 3 + exR1(1) + 3 + 6 + exR1(4) + 6
        //"" + 3 + exR1(-2) + 1 + exR1(-1) + 1 + 3 + 6 + exR1(4) + 6
        //"" + 3 + "" + 1 + "" + 1 + 3 + 6 + exR1(4) + 6
        //"31136" + exR1(4) + 6
        //......

        public static string exR1(int n)
        {
            if (n <= 0)
            {
                return "";
            }

            return exR1(n - 3) + n + exR1(n - 2) + n;
        }
1.1.17
題目

找出以下遞歸函數的問題：

public static String exR2(int n)  
    {  
        String s = exR2(n - 3) +  n + exR2(n - 2) + n;  
        if (n <= 0) return "";  
        return s;  
    }
解答

書中已經給出瞭解釋。

遞歸時結束條件必須放在遞歸語句的前面，否則會不斷展開而無法結束。

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine($"{exR2(6)}");//拋出 StackOverflow Exception
        }

        public static string exR2(int n)
        {
            string s = exR2(n - 3) + n + exR2(n - 2) + n;//運行到 exR2 即展開，不會再運行下一句
            if (n <= 0) return "";
            return s;
        }
1.1.18
題目

請看以下遞歸函數：

public static int mystery(int a, int b)
{
    if (b == 0)    return 0;
    if (b % 2 == 0)    return mystery(a + a, b / 2);
    return mystery(a + a, b / 2) + a;
}

mystery(2, 25) 和 mystery(3, 11) 的返回值是多少？
給定正整數 a 和 b，mystery(a, b) 計算的結果是什麼？
將代碼中的 + 替換為 * 並將 return 0 改為 return 1，然後回答相同的問題。

解答

其實就是一種快速乘法的實現，換成乘號之後就變成了快速乘冪。

例如對於乘法 2 * 4，可以用 2 + 2 + 2 + 2 做四次加法計算；也可以變為 (2 + 2) * 2 = (2 + 2) + (2 + 2) 的形式，用兩次加法就可以完成（先計算 2 + 2 的值，再計算 4 + 4 的值）。

同理對於乘冪 28，既可以用 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 做 8 次乘法，也可以只用三次乘法就計算出來：

22 = 2 * 2

24 = 22 * 22

28 = 24 * 24

這樣時間複雜度就從 O(n) 變為了 O(log n)。

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine($"mystery(2, 25): {mystery(2, 25)}");
            Console.WriteLine($"mystery(3, 11): {mystery(3, 11)}");

            Console.WriteLine($"mysteryChanged(2, 8): {mysteryChanged(2, 8)}");
            Console.WriteLine($"mysteryChanged(3, 2): {mysteryChanged(3, 2)}");
        }

        //mystery(a, b) = a * b
        //利用等式：a * b = 2a * b/2 = (2a * (b-1) / 2) + a
        //示例：
        //mystery(2, 25) =
        //mystery(2 + 2, 12) + 2 =
        //mystery(4 + 4, 6) + 2 =
        //mystery(8 + 8, 3) =
        //mystery(16 + 16, 1) + 16 + 2 =
        //mystery(32 + 32, 0) + 32 + 16 + 2 =
        //0 + 32 + 16 + 2 =
        //50
        public static int mystery(int a, int b)
        {
            if (b == 0) return 0;
            if (b % 2 == 0) return mystery(a + a, b / 2);
            return mystery(a + a, b / 2) + a;
        }

        //mysteryChanged(a, b) = a ^ b
        //同理（乘方與乘法，乘法與加法之間具有類似的性質）
        //a ^ b = (a ^ 2) ^ (b / 2) = (a ^ 2) ^ ((b - 1) / 2) * a
        public static int mysteryChanged(int a, int b)
        {
            if (b == 0) return 1;
            if (b % 2 == 0) return mysteryChanged(a * a, b / 2);
            return mysteryChanged(a * a, b / 2) * a;
        }
1.1.19
題目

在電腦上運行以下程式：

public class Fibnacci
{
    public static long F(int N)
    {
        if (N == 0)    return 0;
        if (N == 1)    return 1;
        return F(N - 1) + F(N - 2);
    }
    public static void main(String[] args)
    {
        for (int N = 0; N < 100; N++)
            StdOut.println(N + " " + F(N));
    }
}

電腦用這段程式在一個小時之內能夠得到 F(N) 結果的最大 N 值是多少？
開發 F(N) 的一個更好的實現，用數組保存已經計算過的值。

解答

普通的遞歸演算法效率很低，原因是越到後面重覆運算的數目越多。

比如：

F(2) = F(1) + F(0)

F(3) = F(2) + F(1) = F(1) + F(1) + F(0)

可以看到 F(1) 被重覆計算了兩次。

改進的方式是將每次運算的結果保存在數組中，之後計算過的數據直接從數組中提取。

代碼
class Fibnacci
    {
        //long 類型不夠大，換成 UINT64 類型
        //用於保存計算結果的數組，UInt64? 代表可以賦值為普通 UInt64 類型的值以及 null 值
        private static UInt64?[] fibnacciResults = new UInt64?[100];
        
        static void Main(string[] args)
        {
            /*
             * 測試環境
             * 
             * Surface Pro3 i7
             * i7 4650U + 8G
             * 
             */
            Stopwatch timer = Stopwatch.StartNew();
            for (int N = 0; N < 100; ++N)
            {
                //書本中的代碼，非常慢，1小時後 N = 50
                //Console.WriteLine($"{N} {F(N)}");

                //利用已知結果加速
                //全部計算完畢耗時 84ms
                Console.WriteLine($"{N} {BetterF(N)}");
            }
            Console.WriteLine($"{timer.ElapsedMilliseconds} ms");
        }

        //書中提供的代碼
        public static UInt64 F(int N)
        {
            if (N == 0)
                return 0;
            if (N == 1)
                return 1;

            return F(N - 1) + F(N - 2);
        }

        //更好的實現，將已經計算的結果保存，不必重覆計算
        public static UInt64? BetterF(int N)
        {
            if (N == 0)
                return 0;
            if (N == 1)
                return 1;

            if (fibnacciResults[N] != null)     //如果已經計算過則直接讀取已知值
            {
                return fibnacciResults[N];
            }
            else
            {
                fibnacciResults[N] = BetterF(N - 1) + BetterF(N - 2);
                return fibnacciResults[N];
            }
        }
    }
1.1.20
題目

編寫一個遞歸的靜態方法計算 ln(N!) 的值。

解答

根據對數的性質可以得到：

ln(N!) = ln(N) + ln(N – 1) + ln(N – 2)…

代碼
static void Main(string[] args)
        {
            int N = 4;
            Console.WriteLine($"{factorialLn(N)}");
        }

        //ln(N!) =
        //ln(N * (N - 1) * ... * 1) =
        //ln(N) + ln((N - 1)!)
        public static double factorialLn(int N)
        {
            if (N == 1)
            {
                return 0;
            }

            return Math.Log(N) + factorialLn(N - 1);
        }
1.1.21
題目

編寫一段程式，從標準輸入按行讀取數據，其中每行都包含一個名字和兩個整數。
然後用 printf() 列印一張表格，
每行的若幹列數據包含名字、兩個整數和第一個整數除以第二個整數的結果，
精確到小數點後三位。
可以用這種程式將棒球球手的擊球命中率或者學生的

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