LASSO（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）回歸模型一般都是用英文縮寫表示，硬要翻譯的話，可翻譯為 最小絕對收縮和選擇運算元。 它是一種線性回歸模型的擴展，其主要目標是解決高維數據中的特征選擇和正則化問題。 1. 概述 在LASSO中，通 ...
LASSO（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）回歸模型一般都是用英文縮寫表示，
硬要翻譯的話，可翻譯為 最小絕對收縮和選擇運算元。
它是一種線性回歸模型的擴展，其主要目標是解決高維數據中的特征選擇和正則化問題。
1. 概述
在LASSO中，通過使用L1正則化項，它能夠在回歸繫數中引入稀疏性，
也就是允許某些繫數在優化過程中縮減為零，從而實現特征的選擇。
與嶺回歸不同的是，LASSO的損失函數一般定義為：\(L(w) = (y-wX)^2+\lambda\parallel w\parallel_1\)
其中 \(\lambda\parallel w\parallel_1\)，也就是 L1正則化項（嶺回歸中用的是 L2正則化項）。
模型訓練的過程就是尋找讓損失函數\(L(w)\)最小的參數\(w\)。
也就等價於：\(\begin{align}
& arg\ min(y-wX)^2 \\
& s.t. \sum |w_{ij}| < s
\end{align}\)
這兩個公式表示，在滿足約束條件 \(\sum |w_{ij}| < s\)的情況下，計算 \((y-wX)^2\)的最小值。
2. 創建樣本數據
相比於嶺回歸模型，LASSO回歸模型不僅對於共線性數據集友好，
對於高維數據的數據集，也有不錯的性能表現。
它通過將不重要的特征的繫數壓縮為零，幫助我們選擇最重要的特征，從而提高模型的預測準確性和可解釋性。
下麵我們模擬創建一些高維數據，創建一個特征數比樣本數還多的樣本數據集。
from sklearn.datasets import make_regression
X, y = make_regression(n_samples=80, n_features=100, noise=10)
這個數據集中，只有80個樣本，每個樣本卻有100個特征，並且雜訊也設置的很大（noise=10）。
3. 模型訓練
第一步，分割訓練集和測試集。
from sklearn.model_selection import train_test_split
# 分割訓練集和測試集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.1)
用scikit-learn中的LASSO模型來訓練：
from sklearn.linear_model import Lasso
# 初始化LASSO線性模型
reg = Lasso()
# 訓練模型
reg.fit(X_train, y_train)
這裡使用的 Lasso()的預設參數來訓練模型，它的主要參數包括：
- alpha：正則化項繫數。它控制了L1正則化項的強度，即對模型複雜度的懲罰。
alpha越大，模型越簡單，但過大的alpha可能會導致模型欠擬合；alpha越小，模型越複雜，但過小的alpha可能會導致模型過擬合。預設值為1.0。 - fit_intercept：布爾值，指定是否需要計算截距b值。如果設為
False，則不計算b值。預設值為True。 - normalize：布爾值。如果設為
True，則在模型訓練之前將數據歸一化。預設值為False。 - precompute：布爾值，指定是否預先計算X的平方和。如果設為True，則在每次迭代之前計算X的平方和。預設值為False。
- copy_X：布爾值，指定是否在訓練過程中複製
X。如果設為True，則在訓練過程中複製X。預設值為True。 - max_iter：最大迭代次數。預設值為1000。
- tol：閾值，用於判斷是否達到收斂條件。預設值為1e-4。
- warm_start：布爾值，如果設為
True，則使用前一次的解作為本次迭代的起始點。預設值為False。 - positive：布爾值，如果設為
True，則強制繫數為正。預設值為False。 - selection：用於在每次迭代中選擇繫數的演算法（有“
cyclic”和“random”兩種選擇）。預設值為“cyclic”，即迴圈選擇。
最後驗證模型的訓練效果：
from sklearn import metrics
y_pred = reg.predict(X_test)
mse = metrics.mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = metrics.r2_score(y_test, y_pred)
m_error = metrics.median_absolute_error(y_test, y_pred)
print("均方誤差：{}".format(mse))
print("復相關係數：{}".format(r2))
print("中位數絕對誤差：{}".format(m_error))
# 運行結果
均方誤差：441.07830708712186
復相關係數：0.9838880665687711
中位數絕對誤差：11.643348614829785
誤差看上去不小，因為這次實際生成的樣本，不僅數量小（80件）且雜訊大（noise=10）。
3.1. 與嶺回歸模型比較
單獨看LASSO模型的訓練結果，看不出其處理高維數據的優勢。
同樣用上面分割好的訓練集和測試集，來看看嶺回歸模型的擬合效果。
from sklearn.linear_model import Ridge
# from sklearn.model_selection import train_test_split
mse, r2, m_error = 0.0, 0.0, 0.0
# 初始化嶺回歸線性模型
reg = Ridge()
# 訓練模型
reg.fit(X_train, y_train)
y_pred = reg.predict(X_test)
mse = metrics.mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = metrics.r2_score(y_test, y_pred)
m_error = metrics.median_absolute_error(y_test, y_pred)
print("均方誤差：{}".format(mse))
print("復相關係數：{}".format(r2))
print("中位數絕對誤差：{}".format(m_error))
# 運行結果
均方誤差：6315.046844910431
復相關係數：0.7693207470296398
中位數絕對誤差：60.65140692273637
對於高維數據，可以看出，嶺回歸模型的誤差 遠遠大於 LASSO模型。
3.2. 與最小二乘法模型比較
同樣用上面分割好的訓練集和測試集，再來看看線性模型（最小二乘法）的擬合效果。
from sklearn.linear_model import LinearRegression
mse, r2, m_error = 0.0, 0.0, 0.0
# 初始化最小二乘法線性模型
reg = LinearRegression()
# 訓練模型
reg.fit(X_train, y_train)
y_pred = reg.predict(X_test)
mse = metrics.mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = metrics.r2_score(y_test, y_pred)
m_error = metrics.median_absolute_error(y_test, y_pred)
print("均方誤差：{}".format(mse))
print("復相關係數：{}".format(r2))
print("中位數絕對誤差：{}".format(m_error))
# 運行結果
均方誤差：5912.442445894787
復相關係數：0.7840272859181612
中位數絕對誤差：62.89225147465376
可以看出，線性模型的訓練效果和嶺回歸模型差不多，但是都遠遠不如LASSO模型。
4. 總結
總的來說，LASSO回歸模型是一種流行的線性回歸擴展，具有一些顯著的優勢和劣勢。
比如，在特征選擇上，LASSO通過將某些繫數壓縮為零，能夠有效地進行特征選擇，這在高維數據集中特別有用。
此外，LASSO可以作為正則化工具，有助於防止過擬合。
不過，LASSO會假設特征是線性相關的，對於非線性關係的數據，效果可能不佳。
而且，如果數據存在複雜模式或雜訊，LASSO可能會過度擬合這些模式。
