插值運算是一種數據處理方法，主要用來填補數據之間的空白或缺失值。
因為在實際應用中，數據往往不是完整的，而是存在著空白或缺失值，這些空白或缺失值可能是由於數據採集困難、數據丟失或數據處理錯誤等原因造成的。
如果直接使用這些空白或缺失值進行分析和預測，將會對結果造成很大的影響。

插值運算可以用來填補這些空白或缺失值，從而恢復完整的數據集。
通過插值運算，可以估算出空白或缺失值的值，從而提高數據的完整性和準確性。
此外，插值運算還可以用來預測未來的數據趨勢或結果，對於數據分析和預測具有重要的意義。

本篇介紹Scipy為我們提供的插值處理方法。

1. 主要功能

Scipy中，關於插值的子模塊是：scipy.interpolate。
其中又細分為：

插值效果的好壞，有個重要的因素在於是否根據數據的情況選擇了合適的插值演算法。
Scipy庫中已經實現的插值演算法有：

1. linear：線性插值演算法
2. nearest：最近鄰插值演算法
3. nearest-up：改進型最近鄰插值演算法
4. zero：零階樣條插值演算法（等同於 previous）
5. slinear：一階樣條插值演算法（等同於 linear）
6. quadratic：五階樣條插值演算法
7. cubic：三階樣條插值演算法
8. previous：前點插值演算法
9. next：後點插值演算法

我們可以根據數據情況選擇合適的演算法，下麵用一些測試數據演示不同演算法的插值效果：

from scipy.interpolate import interp1d

x = np.linspace(0, 20, 20)
y = x * np.cos(x)
plt.scatter(x,y)
plt.show()

上圖是插值之前，直接由20個數據點連接起來的折線。

接下來，應用9種不同的插值演算法將20個點補充為100個點，然後看看插值之後各種曲線的效果。

interp_types = [
    "linear",
    "nearest",
    "nearest-up",
    "zero",
    "slinear",
    "quadratic",
    "cubic",
    "previous",
    "next",
]

fig = plt.figure(figsize=[12, 9])
fig.subplots_adjust(hspace=0.4)

for idx, typ in enumerate(interp_types):
    f = interp1d(x, y, kind=typ)
    x_dense = np.linspace(0, 20, 100)
    y_dense = f(x_dense)

    ax = fig.add_subplot(330 + idx+1)
    ax.scatter(x, y)
    ax.plot(x_dense, y_dense, color='g')
    ax.set_title("插值演算法-{}".format(typ))


plt.show()

2. 一維插值示例

在我自己實際接觸的項目中，氣象數據的處理經常會用到插值。
因為氣象數據常常存在缺失值，這可能是由於感測器故障，數據傳輸問題，或者在某些情況下，由於天氣現象使得數據無法收集。
對於這些缺失值，我們可以使用Scipy的一維插值功能來進行填充。

比如下麵是南京市某年的各個月的平均氣溫：

import pandas as pd

# 南京一年中每個月平均氣溫
df = pd.DataFrame({
    "月份": ["一月", "二月", "三月", 
           "四月", "五月", "六月", 
           "七月", "八月", "九月", 
           "十月", "十一月", "十二月"],
    "平均最低氣溫": [-1.6, 0.0, 4.4, 
               np.nan, 15.7, 20.4, 
               np.nan, 24.6, 19.1, 
               12.6, 6.1, -0.1],
    "平均最高氣溫": [7.0, 8.4, np.nan, 
               20.1, 25.3, 29.0, 
               32.0, 32.2, 27.2, 
               np.nan, 16.9, 9.7],
})

df

由於採集或者傳輸的原因，導致缺失了一些數據。
這樣的數據不僅繪製出來的折線圖會有斷開的地方，而且不利於後續的分析。

plt.plot(df["月份"], df["平均最低氣溫"], label="平均最低氣溫")
plt.plot(df["月份"], df["平均最高氣溫"], label="平均最高氣溫")
plt.legend()

plt.show()

這時，可以用Scipy的插值演算法來補充缺失數據。

from scipy.interpolate import interp1d

# 過濾掉缺失的 平均最低氣溫 數據
df_low =df[df["平均最低氣溫"].notna()]
# 根據已有的數據生成插值函數
f = interp1d(df_low.index, df_low["平均最低氣溫"], kind="cubic")
# 用插值函數補充缺失數據
df["平均最低氣溫"] = f(range(12))

# 平均最高氣溫 的缺失數據處理同上
df_high =df[df["平均最高氣溫"].notna()]
f = interp1d(df_high.index, df_high["平均最高氣溫"], kind="cubic")
df["平均最高氣溫"] = f(range(12))

df.round(1)

plt.plot(df["月份"], df["平均最低氣溫"], label="平均最低氣溫")
plt.plot(df["月份"], df["平均最高氣溫"], label="平均最高氣溫")
plt.legend()

plt.show()

處理之後，數據的連續性更好了。

3. 二維插值示例

當自變數有2個的時候，就要用到二維插值了。
仍然以氣象上的數據舉例，上面示例是氣溫和時間的關係，我們把時間作為自變數，只要一維插值即可。
如果是和地點關聯的話，那麼地點作為自變數就有2個值（一般是經度和緯度）。

比如下麵截取了項目中一段降水量的數據：

# 數據是二維數組：
# 每一行代表經度相同，緯度不同的地點
# 每一列代表緯度相同，經度不同的地點
data = np.array([
    [9, 9, 5, 9, 10, 9, 8, 7, 11, 1],
    [54, 36, 54, 32, 46, 51, 35, 33, 36, 11],
    [35, 34, 34, 45, 52, 35, 34, 36, 41, 9],
    [117, 112, 113, 133, 126, 127, 119, 96, 116, 23],
    [110, 67, 91, 85, 94, 69, 77, 81, 65, 13],
    [9, 7, 13, 12, 9, 6, 8, 9, 21, 3],
    [50, 21, 24, 32, 36, 26, 28, 30, 24, 3],
    [65, 41, 63, 67, 58, 50, 54, 45, 48, 16],
    [36, 29, 32, 28, 38, 29, 41, 27, 29, 9],
    [37, 61, 57, 35, 56, 51, 40, 58, 100, 34],
])

顯示降水量的分佈情況。

plt.imshow(data, cmap=plt.cm.GnBu)
plt.colorbar()
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.show()

data中只有100個數據，所以每個格子一個值，看起來不是那麼連續，
而實際的降水情況不會像這樣離散的，區域之間的降水量應該是逐漸連續變化的。

所以，需要在data的基礎上進行二維插值：

from scipy.interpolate import RectBivariateSpline

# 原始數據是 10x10 
x = np.linspace(0, 10, 10, endpoint=False)
y = np.linspace(0, 10, 10, endpoint=False)

# 插值後的數據是 500x500
x_new = np.linspace(0, 10, 500, endpoint=False)
y_new = np.linspace(0, 10, 500, endpoint=False)

# 從原始數據生成插值函數
f = RectBivariateSpline(x, y, data.T)
# 用插值函數計算新的數據
data_new = f(x_new, y_new)

# 顯示插值後的結果
plt.imshow(data_new.T, cmap=plt.cm.GnBu)
plt.colorbar()
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.show()

這是插值到 500x500 的效果，值越大，連續性越好。
有興趣的話，可以調整上面代碼中 x_new 和 y_new 的個數，看看不同的效果。

4. 總結

插值作為一種常見的數據處理方法，應用的領域和場景非常多，比如：

1. 數據預測：通過插值技術，可以預測未來的數據趨勢或結果。
2. 圖像處理：插值可以用於圖像處理和圖像分析，以提高圖像的解析度或質量。
3. 機器學習：插值技術也可以用於機器學習和人工智慧領域。用於構建回歸模型或分類模型，以便對未知數據進行預測或分類。

本文主要介紹了Scipy庫的插值子模塊，其內置的插值演算法，以及兩個應用插值的小例子。