可讀、可寫 r+t: 可讀、可寫 w+t: 可寫、可讀 a+t: 可追加、可讀 ## wt with open('36w.txt', 'wt', encoding='utf-8') as fw: print(fw.readable()) print(fw.writable()) False True ...

使用Python通過拉馬努金公式快速求π

一、前言

π是一個數學常數，定義為：圓的周長與直徑的比值。
π是一個無理數，也是一個超越數，它的小數部分無限不迴圈。
π可以用來精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。
有關π的有趣知識有很多，例如：

π在數學中有很多重要的應用，例如歐拉公式e^(iπ)=-1，這個公式被稱為“數學之美”，因為它將5個看似無關的符號緊密地聯繫了起來。
π符號是由瑞士數學家歐拉在1736年首次使用的。之前，人們通常用分數或無窮級數來表示圓周率。
π是希臘語“周長”的開頭字母。
π的小數部分中，第762位到第766位是“99999”，這被稱為“Feynman點”，因為物理學家費曼（Richard Feynman）曾經說過，如果他能記住π的所有數字，他就會以這五個9為結尾。
3月14日被稱為“圓周率日”，因為這個日期的美式寫法是3/14，和π的前兩位數字相同。
7月22日也被稱為“圓周率近似日”，因為這個日期的歐式寫法是22/7，和π的一個常用近似值相同。
π是否是一個正規數還沒有確定，正規數是指在任何進位下，它的小數部分包含了所有可能出現的數字序列。但是目前還沒有確定的答案。
一種可能的情況是，π是一個正規數，也就是說它在任何進位下的小數部分包含了所有可能出現的數字序列，並且每個數字出現的概率都相同。如果這樣的話，由於π是一個無限不迴圈小數，那麼π中所有數字出現的概率確實均等。也就是說，我們在π中找到任何數字的組合，比如：
所有人的生日
所有人的銀行卡密碼
這裡介紹一個在π中查找特殊數字組合起始位置的網站：
http://www.subidiom.com/pi/pi.asp
只要輸入一個你想在π中找尋的數字組合，這個網站就會通過在π中搜索並反饋搜索結果給你：

進入網站，輸入想要查詢的數字組合：20230305
點擊submit
等待查詢結果：3108384

1.1 為什麼要算π

π是一個無理數，也就是說它不能用兩個整數的比值來表示。它的小數部分是無限不迴圈的，目前已經計算出了超過50萬億位。
實際上，如果用圓周公式來計算整個宇宙的周長，只需要使用π的前40位就可以精確計算出來了，如果我們假設宇宙的直徑是93億光年，那麼它的周長就是2π×93億光年。如果我們用π的前40位來計算這個值，那麼誤差就不到一個質子的直徑。也就是說，用π的前40位就足以精確地描述宇宙的大小了。
那為什麼還要用超級電腦不停的計算π呢？用超級電腦不停的算π，是因為人們對這個神奇的數有著強烈的好奇心和探索欲。
一方面，計算π可以檢驗超級電腦的性能和穩定性，也可以推動計算方法和軟體技術的發展。
另一方面，計算π也有一些實際應用，比如密碼學、隨機數生成、數據壓縮等。
不過，由於π是一個無理數，它的小數部分是無限不迴圈的，所以用任何有限的資源都無法算盡它。

1.2 π的求法

π在歷史上被不同的文明用不同的方法估算過，最早可以追溯到4000年前的古埃及和巴比倫。其中一個簡單的方法是用繩子測量圓形物體的周長和直徑，然後計算它們的比值。
求π值的方法有很多種，比如：
阿基米德法：用正多邊形逼近圓，計算其周長和麵積，得到π的上下界。
無窮級數法：利用一些收斂速度快的無窮級數公式，如萊布尼茨公式、馬青公式等，不斷求和得到π的近似值。

萊布尼茨公式：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
馬青公式：π = 16 arctan(1/5) - 4 arctan(1/239)
阿基米德法變形：π = 2 + 2/3 + 2/32/5 + 2/32/5*3/7 + ...

蒙特卡羅法：用隨機數模擬撒豆子或者投針實驗，統計落在圓內和圓外的比例，得到π的近似值。
今天要介紹的是是拉馬努金公式（Ramanujan formula），它是印度數學家拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）在1910年發現的一系列級數公式，可以用來快速計算π的近似值。這個公式每計算一項可以得到8位的十進位精度。

二、準備

2.1 高精度庫

在Python中，預設的小數位數為17位，如果想要計算更多的小數位，則需要專門的庫。這裡使用decimal庫。decimal是一個Python內置庫，無需安裝。可以直接導入使用。

2.2 π的值

因為後面要涉及到核對，所以需要準備正確的π的前xx位，這裡是使用了前1萬位。如下：

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396665573092547110557853763466820653109896526918620564769312570586356620185581007293606598764861179104533488503461136576867532494416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830634328587856983052358089330657574067954571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571853061422881375850430633217518297986622371721591607716692547487389866549494501146540628433663937900397692656721463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447377441842631298608099888687413260472156951623965864573021631598193195167353812974167729478672422924654366800980676928238280689964004824354037014163149658979409243237896907069779422362508221688957383798623001593776471651228935786015881617557829735233446042815126272037343146531977774160319906655418763979293344195215413418994854447345673831624993419131814809277771038638773431772075456545322077709212019051660962804909263601975988281613323166636528619326686336062735676303544776280350450777235547105859548702790814356240145171806246436267945612753181340783303362542327839449753824372058353114771199260638133467768796959703098339130771098704085913374641442822772634659470474587847787201927715280731767907707157213444730605700733492436931138350493163128404251219256517980694113528013147013047816437885185290928545201165839341965621349143415956258658655705526904965209858033850722426482939728584783163057777560688876446248246857926039535277348030480290058760758251047470916439613626760449256274204208320856611906254543372131535958450687724602901618766795240616342522577195429162991930645537799140373404328752628889639958794757291746426357455254079091451357111369410911939325191076020825202618798531887705842972591677813149699009019211697173727847684726860849003377024242916513005005168323364350389517029893922334517220138128069650117844087451960121228599371623130171144484640903890644954440061986907548516026327505298349187407866808818338510228334508504860825039302133219715518430635455007668282949304137765527939751754613953984683393638304746119966538581538420568533862186725233402830871123282789212507712629463229563989898935821167456270102183564622013496715188190973038119800497340723961036854066431939509790190699639552453005450580685501956730229219139339185680344903982059551002263535361920419947455385938102343955449597783779023742161727111723643435439478221818528624085140066604433258885698670543154706965747458550332323342107301545940516553790686627333799585115625784322988273723198987571415957811196358330059408730681216028764962867446047746491599505497374256269010490377819868359381465741268049256487985561453723478673303904688383436346553794986419270563872931748723320837601123029911367938627089438799362016295154133714248928307220126901475466847653576164773794675200490757155527819653621323926406160136358155907422020203187277605277219005561484255518792530343513984425322341576233610642506390497500865627109535919465897514131034822769306247435363256916078154781811528436679570611086153315044521274739245449454236828860613408414863776700961207151249140430272538607648236341433462351897576645216413767969031495019108575984423919862916421939949072362346468441173940326591840443780513338945257423995082965912285085558215725031071257012668302402929525220118726767562204154205161841634847565169998116141010029960783869092916030288400269104140792886215078424516709087000699282120660418371806535567252532567532861291042487761825829765157959847035622262934860034158722980534989650226291748788202734209222245339856264766914905562842503912757710284027998066365825488926488025456610172967026640765590429099456815065265305371829412703369313785178609040708667114965583434347693385781711386455873678123014587687126603489139095620099393610310291616152881384379099042317473363948045759314931405297634757481193567091101377517210080315590248530906692037671922033229094334676851422144773793937517034436619910403375111735471918550464490263655128162288244625759163330391072253837421821408835086573917715096828874782656995995744906617583441375223970968340800535598491754173818839994469748676265516582765848358845314277568790029095170283529716344562129640435231176006651012412006597558512761785838292041974844236080071930457618932349229279650198751872127267507981255470958904556357921221033346697499235630254947802490114195212382815309114079073860251522742995818072471625916685451333123948049470791191532673430282441860414263639548000448002670496248201792896476697583183271314251702969234889627668440323260927524960357996469256504936818360900323809293459588970695365349406034021665443755890045632882250545255640564482465151875471196218443965825337543885690941130315095261793780029741207665147939425902989695946995565761218656196733786236256125216320862869222103274889218654364802296780705765615144632046927906821207388377814233562823608963208068222468012248261177185896381409183903673672220888321513755600372798394004152970028783076670944474560134556417254370906979396122571429894671543578468788614445812314593571984922528471605049221242470141214780573455105008019086996033027634787081081754501193071412233908663938339529425786905076431006383519834389341596131854347546495569781038293097164651438407007073604112373599843452251610507027056235266012764848308407611830130527932054274628654036036745328651057065874882256981579367897669742205750596834408697350201410206723585020072452256326513410559240190274216248439140359989535394590944070469120914093870012645600162374288021092764579310657922955249887275846101264836999892256959688159205600101655256375678

三、代碼

from decimal import Decimal, getcontext  # 高精度小數庫
from mdTools import ftDecTimeIt  # 計算函數運行時長的裝飾器
from math import factorial  # 階乘
from π import str_real_pi  # π的真實值(前1萬位小數)

count_numbers = 5000  # 要計算的前N位，請勿超過10000，否則無數據核對
effective_numbers = int(count_numbers * 1.1)  # 有效數字位數
print(f'本程式即將計算π的前：{count_numbers}位，並核對。')


@ftDecTimeIt(1)
def count_π(prec=1000):
    getcontext().prec = prec  # 設置有效的數字位數
    x = 0
    for k in range(int(prec / 8) + 1):  # 這個公式每計算一項可以得到8位的十進位精度。
        a = 2 * Decimal.sqrt(Decimal(2)) / 9801
        b = factorial(4 * k) * (1103 + 26390 * k)
        c = pow(factorial(k), 4) * pow(396, 4 * k)
        x = x + a * b / c
    return 1 / x


pi = count_π(effective_numbers)
# 核對
flag = True
for i in range(2, count_numbers):
    if str_real_pi[i] != str(pi)[i]:
        print(f'出錯啦！出錯的位數為：{i}, 該小數位正確的為：{str_real_pi[i]}， 錯誤的計算為：{str(pi)[i]}')
        flag = False
        break
if flag:
    print('核對無誤！')

本程式即將計算π的前：5000位，並核對。
函數 count_π 運行 1 次的總耗時為：18.5894 秒
核對無誤！

從自動化辦公到智能化辦公