JavaScript圖形實例：再談曲線方程

来源:https://www.cnblogs.com/cs-whut/archive/2020/06/26/13193819.html
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在“JavaScript圖形實例：曲線方程”一文中，我們給出了15個曲線方程繪製圖形的實例。在本文中，我們繼續討論一下曲線方程。在本文中，我們討論的方法時，先給出一個繪製特定圖案的曲線方程，然後將方程中的一些取值參數化，然後看看這些參數取不同值時會繪製出怎樣的圖形，從而通過試探加猜測的方式找出一些繪 ...


      在“JavaScript圖形實例：曲線方程”一文中，我們給出了15個曲線方程繪製圖形的實例。在本文中，我們繼續討論一下曲線方程。在本文中，我們討論的方法時，先給出一個繪製特定圖案的曲線方程，然後將方程中的一些取值參數化，然後看看這些參數取不同值時會繪製出怎樣的圖形，從而通過試探加猜測的方式找出一些繪製精美曲線圖案的曲線方程。

1．四葉花瓣線

四葉花瓣線的笛卡爾坐標方程式設定為：

    x=r*cos(2θ)*sin(θ)

    y=r* sin(2θ)*cos(θ)       （0≤θ≤2π）

編寫如下的HTML代碼。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>四葉花瓣線</title>

<script type="text/javascript">

  function draw(id)

  {

     var canvas=document.getElementById(id);

     if (canvas==null)

        return false;

     var context=canvas.getContext('2d');

     context.fillStyle="#EEEEFF";

     context.fillRect(0,0,300,300);

     context.strokeStyle="red";

     context.lineWidth=2;

     context.save();

     context.translate(150,150);

     var r=120;

     context.beginPath();

     for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/100)

     {

        var x = r*Math.cos(2*theta)*Math.sin(theta);

        var y = r*Math.cos(2*theta)*Math.cos(theta);

        if (theta==0)

           context.moveTo(x,y);

        else

           context.lineTo(x,y);

      }

     context.stroke();

     context.restore();

   }

</script>

</head>

<body onload="draw('myCanvas');">

<canvas id="myCanvas" width="300" height="300"></canvas>

</body>

</html>

將上述HTML代碼保存到一個html文本文件中，再在瀏覽器中打開包含這段HTML代碼的html文件，可以看到在畫布中繪製出四葉花瓣線圖案，如圖1所示。

  

圖1  4葉花瓣線

下麵將四葉花瓣線的笛卡爾坐標方程式參數化為：

    x=r*cos(nθ)*sin(θ)

    y=r* sin(nθ)*cos(θ)       （0≤θ≤2π）

編寫程式，在畫布中繪製出n=1~10時的圖案。編寫的HTML文件內容如下。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>四葉花瓣線方程參數化</title>

<script type="text/javascript">

  function draw(id)

  {

     var canvas=document.getElementById(id);

     if (canvas==null)

        return false;

     var context=canvas.getContext('2d');

     context.fillStyle="#EEEEFF";

     context.fillRect(0,0,510,210);

     context.strokeStyle="red";

     context.lineWidth=2;

     n=0;

     r=45;

     for (py=50;py<=150;py+=100)

       for (px=50;px<=450;px+=100)

       {

           n++; 

           context.beginPath();

           for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/100)

           {

               var x = r*Math.cos(n*theta)*Math.sin(theta)+px;

               var y = r*Math.cos(n*theta)*Math.cos(theta)+py;

               if (theta==0)

                  context.moveTo(x,y);

               else

                  context.lineTo(x,y);

            }

            context.stroke();

        }

   }

</script>

</head>

<body onload="draw('myCanvas');">

<canvas id="myCanvas" width="510" height="210"></canvas>

</body>

</html>

將上述HTML代碼保存到一個html文本文件中，再在瀏覽器中打開包含這段HTML代碼的html文件，可以看到在畫布中繪製出如圖2所示花瓣線圖案。

  

圖2 花瓣線圖案

      圖2中的10個圖案從上到下，從左往右對應著N取值為1~10時的情況。由圖2可知，當N為奇數時，花卉線為N瓣；當N為偶數時，花瓣線為2*N瓣。

      能否給定N就繪製N瓣花呢？

將坐標方程修改如下：

    x = r*(1/2+1/2*sin(nθ))*cos(θ)

    y = r*(1/2+1/2*sin(nθ))*sin(θ)      （0≤θ≤2π）

編寫HTML文件內容如下。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>N葉花瓣線方程參數化</title>

<script type="text/javascript">

  function draw(id)

  {

     var canvas=document.getElementById(id);

     if (canvas==null)

        return false;

     var context=canvas.getContext('2d');

     context.fillStyle="#EEEEFF";

     context.fillRect(0,0,510,210);

     context.strokeStyle="red";

     context.lineWidth=2;

     n=0;

     r=45;

     for (py=50;py<=150;py+=100)

       for (px=50;px<=450;px+=100)

       {

           n++; 

           context.beginPath();

           for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/100)

           {

               var x = r*(1/2+1/2*Math.sin(n*theta))*Math.cos(theta)+px;

               var y = r*(1/2+1/2*Math.sin(n*theta))*Math.sin(theta)+py;

               if (theta==0)

                  context.moveTo(x,y);

               else

                  context.lineTo(x,y);

            }

            context.stroke();

        }

   }

</script>

</head>

<body onload="draw('myCanvas');">

<canvas id="myCanvas" width="510" height="210"></canvas>

</body>

</html>

將上述HTML代碼保存到一個html文本文件中，再在瀏覽器中打開包含這段HTML代碼的html文件，可以看到在畫布中繪製出如圖3所示的N（N為1~10）葉花瓣線圖案。

  

圖3  N葉花瓣線圖案

我們還可以將四葉花瓣線的笛卡爾坐標方程式參數化為：

x=r*(1/5*sin(n*p*θ)+sin(n*θ))*cos(θ)

y=r*(1/5*sin(n*p*θ)+sin(n*θ))*sin(θ)         （0≤θ≤2π）

編寫如下的HTML文件。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>可設置參數的N瓣花卉圖</title>

<script type="text/javascript">

  function draw(id)

  {

     var canvas=document.getElementById(id);

     if (canvas==null)

        return false;

     var context=canvas.getContext('2d');

     context.fillStyle="#EEEEFF";

     context.fillRect(0,0,300,300);

     context.strokeStyle="red";

     context.lineWidth=2;

     context.beginPath();

     var r=100;

     var n=eval(document.myForm.petalNum.value);

     if (n%2==0 && n%4!=0)

     {

        alert("花瓣數如果是偶數，必須是4的倍數！");

        return;

     }

     if (n%2==0) n=n/2;

     var p=eval(document.myForm.shape.value);

     for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/180)

     {

         x=150+r*(1/5*Math.sin(n*p*theta)+Math.sin(n*theta))*Math.cos(theta);

         y=150+r*(1/5*Math.sin(n*p*theta)+Math.sin(n*theta))*Math.sin(theta);

         if (theta==0)

            context.moveTo(x,y);

         else

            context.lineTo(x,y);

     }

     context.stroke();

   }

</script>

</head>

<body>

<form name="myForm">

花瓣數<input type=number name="petalNum" value=4 size=3><br>

花形：<input type=number name="shape" value=1 size=3>

<input type=button value="確定" onClick="draw('myCanvas');">

</form><br>

<canvas id="myCanvas" width="300" height="300"></canvas>

</body>

</html>

在瀏覽器中打開包含這段HTML代碼的html文件，可以看到在畫布中繪製出如圖4所示的花卉線圖案。

 

圖4  可設置參數的N瓣花卉圖

      由圖4可以看出，由於參數方程中和一個正弦P次波進行了合成，因此花卉的花瓣形狀會發生改變。

2．花型圖案

根據參數方程：

    x=r*(sin(n*0.5*θ)/3+sin(n*θ))*cos(2*θ)

    y=r*(sin(n*0.5*θ)/3+sin(n*θ))*sin(2*θ)       （0≤θ≤2π）

編寫的HTML文件內容如下。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>花型圖案</title>

<script type="text/javascript">

  function draw(id)

  {

     var canvas=document.getElementById(id);

     if (canvas==null)

        return false;

     var context=canvas.getContext('2d');

     context.fillStyle="#EEEEFF";

     context.fillRect(0,0,500,210);

     context.strokeStyle="red";

     context.lineWidth=1;

     context.beginPath();

     n=0;

     b=35;

     for (py=50;py<=150;py+=100)

       for (px=50;px<=450;px+=100)

       {

           n++; 

           for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/128)

           {

              r=b/3*Math.sin(n*0.5*theta)+b*Math.sin(n*theta);

              x=px+r*Math.cos(2*theta);

              y=py+r*Math.sin(2*theta);

              if (theta==0)

              {

                context.moveTo(x,y);

                bx=x;  by=y;

              }

              else

                context.lineTo(x,y);

           }

           context.lineTo(bx,by);

           context.stroke();

      }

   }

</script>

</head>

<body onload="draw('myCanvas');">

<canvas id="myCanvas" width="500" height="210"></canvas>

</body>

</html>

將上述HTML代碼保存到一個html文本文件中，再在瀏覽器中打開包含這段HTML代碼的html文件，可以在畫布中繪製出N=1~10的10種花型圖案，如圖5所示。

  

圖5  花型圖案1

      先將上面代碼中的語句“x=px+r*Math.cos(2*theta);”和“y=py+r*Math.sin(2*theta);”中的“2*theta”均修改為“4*theta”，則在畫布中繪製出如圖6所示的圖案；若再將語句“r=b/3*Math.sin(n*0.5*theta)+b*Math.sin(n*theta);”中的“n*0.5*theta”修改為“n*theta”，則在畫布中繪製出如圖7所示的圖案。

  

圖6  花型圖案2

  

圖7  花型圖案3

      在這30個圖案中，有你喜歡的嗎？

3．曲線圖案1

根據參數方程：

    x=r*sin(n*θ)*cos(5*θ)

    y=r*sin((n+k)*θ)*sin(5*θ)       （0≤θ≤2π）

編寫的HTML文件內容如下。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>曲線圖案1</title>

<script type="text/javascript">

  function draw(id)

  {

     var canvas=document.getElementById(id);

     if (canvas==null)

        return false;

     var context=canvas.getContext('2d');

     context.fillStyle="#EEEEFF";

     context.fillRect(0,0,500,500);

     context.strokeStyle="red";

     context.lineWidth=1;

     context.beginPath();

     n=0;

     r=45;

     for (py=50;py<=450;py+=100)

     {

         n=n+2;

         k=0;  

         for (px=50;px<=450;px+=100)

         {

           k++; 

           for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/64)

           {

              x=px+r*Math.sin(n*theta)*Math.cos(5*theta);

              y=py+r*Math.sin((k+n)*theta)*Math.sin(5*theta);

              if (theta==0)

              {

                context.moveTo(x,y);

                bx=x;  by=y;

              }

              else

                context.lineTo(x,y);

           }

           context.lineTo(bx,by);

           context.stroke();

        }

     }

   }

</script>

</head>

<body onload="draw('myCanvas');">

<canvas id="myCanvas" width="500" height="500"></canvas>

</body>

</html>

將上述HTML代碼保存到一個html文本文件中，再在瀏覽器中打開包含這段HTML代碼的html文件，可以看到在畫布中繪製出的曲線圖案1-1，如圖8所示。

       在圖8中繪製了5行5列共25個曲線圖案。其中，第1行是參數方程中n取值為2，k取值依次為1,2,3,4,5的5個圖案；第2行是參數方程中n取值為4，k取值依次為1,2,3,4,5的5個圖案；……；第5行是參數方程中n取值為10，k取值依次為1,2,3,4,5的5個圖案。

 

圖8  曲線圖案1-1            

      繪製圖8程式中，求x和y坐標的語句中，均有“5*theta”，這裡“5”作為倍數（不妨設為參數p）也可以修改。例如，修改兩語句中的“5*theta”為“theta”，則在畫布中繪製出如圖9所示的曲線圖案1-2。修改兩語句中的“5*theta”為“2*theta”，則在畫布中繪製出如圖10所示的曲線圖案1-3。

  

圖9  曲線圖案1-2

 

圖10  曲線圖案1-3

      再如，直接修改繪製圖8程式代碼中的語句“var n=0;”為“var n=1；”，其餘部分不變，則在畫布中繪製出如圖11所示的曲線圖案4。這些圖案是N分別取3,5,7,9,11，k分別取1~5，p取5時所對應的曲線圖案。

 

圖11 曲線圖案1-4

      對照圖8、9、10、11，通過修改n、k和p，你會找到你喜歡的圖案嗎？

4．曲線圖案2

修改曲線圖案1中的參數方程為：

    x= r*sin((n+k)*θ)*cos(p*θ)

    y= r*sin(n*θ)*sin(p*θ)       （0≤θ≤2π）

編寫的HTML文件內容如下。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>曲線圖案2</title>

<script type="text/javascript">

  function draw(id)

  {

     var canvas=document.getElementById(id);

     if (canvas==null)

        return false;

     var context=canvas.getContext('2d');

     context.fillStyle="#EEEEFF";

     context.fillRect(0,0,500,500);

     context.fillStyle="blue";

     context.strokeStyle="red";

     context.lineWidth=1;

     context.beginPath();

     n=0;

     r=45;

     p=1;

     for (py=50;py<=450;py+=100)

     {

         n=n+1;  k=0;  

         for (px=50;px<=450;px+=100)

         {

           k++; 

           for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/64)

           {

              x=px+r*Math.sin((k+n)*theta)*Math.cos(p*theta);

              y=py+r*Math.sin(n*theta)*Math.sin(p*theta);

              if (theta==0)

              {

                context.moveTo(x,y);

                bx=x;  by=y;

              }

              else

                context.lineTo(x,y);

           }

           context.lineTo(bx,by);

           context.stroke();

        }

     }

   }

</script>

</head>

<body onload="draw('myCanvas');">

<canvas id="myCanvas" width="500" height="500"></canvas>

</body>

</html>

將上述HTML代碼保存到一個html文本文件中，再在瀏覽器中打開包含這段HTML代碼的html文件，可以看到在畫布中繪製出的曲線圖案2-1，如圖12所示。

在圖12中繪製了5行5列共25個曲線圖案。其中，第i行第j列的曲線圖案對應參數值n=i，k=j。

  

圖12  曲線圖案2-1

      直接修改繪製圖12程式代碼中的語句“p=1;”為“p=4；”，其餘部分不變，則在畫布中繪製出如圖13所示的曲線圖案2-2。

 

圖13  曲線圖案2-2


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