1159 最大全0子矩陣

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f(i,j)表示以(i,j)為右下角的最大全0子矩陣的邊長
若a[i][j]==1，f(i,j)=0
否則：f(i,j)=min{ f(i-1,j),f(i,j-1),f(i-1,j-1) }+1
這樣求得的是最大全0正方形子矩陣
要求長方形矩陣，上述思路行不通
假設以(i,j)為右下角的最大矩陣=12
它可能是3*4、4*3、2*6、6*2、1*12、12*1
按上述思路進行狀態轉移的話，取得最優值的方案不唯一時，
所有的方案需要都記下，用於後續的狀態轉移。

在長方形全0子矩陣中，考察某個位置(i,j)
在第i行中，包含(i,j)位置的全0區間長度>=長方形的寬
若第i行是子矩陣的最後一行，由(i,j)位置向上，連續0的個數>=長方形的高
設[l(i,j)..r(i,j)]是第i行上包含(i,j)的全0子區間
第i1行到第i2行且包含(i2,j)的子矩陣需滿足的條件：
(i1..i2,j)均為0,i2-i1+1=矩陣的高
(i,j)對應的區間[l(i,j)..r(i,j)]>=矩陣的寬
孤立地計算l(i,j)、r(i,j)，再枚舉i1,i2,j，時間複雜度O(n^3)
l(i,j)與l(i,j-1)，r(i,j)與r(i,j+1)之間有關係；
定義h(i,j)表示位置(i,j)向上連續0的個數,h(i,j)與h(i-1,j)之間有關係；
矩形的寬取決於[i1..i2]行中第j列上[l(i,j)..r(i,j)]的最小值
定義l(i,j),r(i,j)分別表示截止到第i行，之前的h(i,j)行中，全0元素的左右區間，
那麼子矩陣的大小=(r(i,j)-l(i,j)+1)*h(i,j)
h(i,j)的遞推關係
if(a[i][j]==0) h(i,j)=h(i,j)+1;

else h(i,j)=0;
l(i,j)的遞推關係
定義mx表示之前0出現的左側位置，初始值=1
if(a[i][j]==0){
l(i,j)=max(l(i-1,j),mx); //mx的值不變 
}else{ //a[i][j]===1,此時的h(i,j)=0,不存在包含(i,j)的子矩陣 
mx=j+1; l(i,j)=1; 
}
r(i,j)的遞推關係
定義mn表示之前0出現的右側位置，初始值=n
if(a[i][j]==0){
r(i,j)=min(mn,r(i-1,j))
}else{
mx=j-1; r(i,j)=n;
}
其中l(i,j),r(i,j),h(i,j)都可以壓縮成一維數組。 
*/

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 using namespace std;
 4 const int maxn=2010;
 5 int n,a[maxn],l[maxn],r[maxn],h[maxn];
 6 int mx,mn,ans;
 7 int main()
 8 {
 9     scanf("%d",&n);
10     for(int col=1;col<=n;col++)
11       l[col]=r[col]=col;
12     for(int row=1;row<=n;row++)
13     {
14         mx=1; mn=n;
15         for(int col=1;col<=n;col++)
16         {
17             scanf("%d",&a[col]);
18             if(a[col]==0)
19               h[col]=h[col]+1;
20             else
21               h[col]=0;
22             if(a[col]==1)
23               mx=col+1;
24             if(a[col]==0)
25               l[col]=max(l[col],mx);
26             else
27               l[col]=1;
28         }
29         for(int col=n;col>0;col--)
30         {
31             if(a[col]==1)
32               mn=col-1;
33             if(a[col]==0)
34               r[col]=min(r[col],mn);
35             else
36               r[col]=n;
37             ans=max(ans,h[col]*(r[col]-l[col]+1));
38         }
39     }
40     printf("%d\n",ans);
41     return 0;
42 }