MATLAB用二分法、不動點迭代法及Newton迭代（切線）法求非線性方程的根

一、實驗原理

二、實驗步驟

三、實驗過程

1.(程式)

（1）二分法：求   在區間（1，2）之間的根，取

（a）bipart.m:

function [x,m]=bipart(fun,a0,b0,tol)
a=a0;b=b0;
m=1+round(round(log((b-a)/tol))/log(2));
for k=1:m
    p=(a+b)/2;     
    if fun(p)*fun(b)<0
            a=p;
    else
            b=p;
    end
    x=p;
end
end　

(b)fun1.m:

function f=fun1(x)
f=x^3+10*x-20;

 （2）不動點迭代法：求方程在附近的根，取

（a）budong.m:

function [x,k]=budong(fun,x0,tol,m)
for k=1:m
    x=fun(x0);
    if abs(x-x0)<tol
        break;
    end
    x0=x;
end
x=vpa(x,8);

   (b)fun.m

function t=fun(x1)
syms x;
f=x^3-2*x-5;
s=subs(diff(f,x),x,x1);
x=x1;
f=x^3-2*x-5;
t=x-f/s;

（3）牛頓迭代法：求方程在附近的根，取

newton.m:

function x1=newton(t1,esp,m)

syms x;

fun=x^3+2*x-5;

for k=1:m

    if abs(subs(diff(fun,'x'),x,t1))<esp

        x1=t1;

        break;

    else

        if subs(diff(fun,'x',2),x,t1)==0

            break;

            disp('解題失敗！')

        else

            t0=t1;

            t1=t0-subs(fun,x,t0)/subs(diff(fun,'x'),x,t0);

            if abs(t1-t0)<esp

                x1=t1;

                break;

            end

        end

    end

end

x1=vpa(x1,8);

2.(運算結果)

（1）二分法：

>> [x,m]=bipart(@fun1,1,2,0.0001)
x =
    1.5945
m =
    14

(2)不動點迭代法：

>> [x,k]=budong(@fun,2,1e-5,100)
x =
2.0945515
k =
     4

(3)牛頓迭代法：

 >> x1=newton(2,1e-4,20)
     x1 =
        1.3282689
 

3.(拓展（方法改進、體會等）)

對於方程的根為重根的情形，newton法求重根只是線性收斂，迭代緩慢，如果對於求重根的情形，對newton法進行改進，取

             ，

則 。用迭代法

求m重根，則具有二階收斂性，但要知道的重數m。

   計算方程的根是二重根，用newton法與改進方法求根。

源程式：

newton_biroot.m:

function t=newton_biroot(x1)

syms x;

f=x^4-4*(x^2)+4;

s=subs(diff(f,x),x,x1);

x=x1;

f=x^4-4*(x^2)+4;

t=x-f/s;

biroot1.m:

function t=biroot1(x1)

syms x;

f=x^4-4*(x^2)+4;

s=subs(diff(f,x),x,x1);

x=x1;

f=x^4-4*(x^2)+4;

t=x-2*f/s;

budong.m:

function [x,k]=budong(fun,x0,tol,m)

for k=1:m

    x=fun(x0);

    if abs(x-x0)<tol

        break;

    end

    x0=x;

    x=vpa(x,8)

end

x=vpa(x,8);

運行結果：取初值為2

 計算4步，改進方法就已經收斂，而newton法只是線性收斂，要達到同樣精度需迭代17次。

附結果：

>> [x,k]=budong(@biroot1,2,1e-5,3)

x =

1.5

x =

1.4166667

x =

1.4142157

x =

1.4142157

k =

     3

>> [x,k]=budong(@biroot1,2,1e-5,10)

x =

1.5

x =

1.4166667

x =

1.4142157

x =

1.4142136

k =

     4

>> [x,k]=budong(@newton_biroot,2,1e-5,50)

x =

1.75

x =

1.5982143

x =

1.5115099

x =

1.4644275

x =

1.439751

x =

1.4270955

x =

1.4206836

x =

1.4174559

x =

1.4158366

x =

1.4150256

x =

1.4146197

x =

1.4144166

x =

1.4143151

x =

1.4142643

x =

1.414239

x =

1.4142263

x =

1.4142199

k =

    17