數論題總結

来源:http://www.cnblogs.com/fenghaoran/archive/2017/04/02/6659103.html
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這幾天做了幾道微不足道的數論題，感覺做法都十分的高啊，我這種僵化的思想是很難有那樣的切題知識水平的。然後做了幾道題，感覺也有點熟悉數學的那一套理論了，雖然我還是太弱，但是有點東西還是要講出來的嘛，一起談笑風生，積累人生經驗。悶聲發大財雖然好，但是是不支持的。 上面那句話看不懂就無視吧。 那麼對於數論 ...


　　這幾天做了幾道微不足道的數論題，感覺做法都十分的高啊，我這種僵化的思想是很難有那樣的切題知識水平的。然後做了幾道題，感覺也有點熟悉數學的那一套理論了，雖然我還是太弱，但是有點東西還是要講出來的嘛，一起談笑風生，積累人生經驗。悶聲發大財雖然好，但是是不支持的。

　　上面那句話看不懂就無視吧。

　　那麼對於數論題，我們應該如何下手呢？？我總結了一些分析技巧和優化技巧，希望有用(希望考場推得出來)。

題目分析：

1.題目給的很直接了，讓你求這個那個。

　　以兩道同年的NOI題目為例。

　　1.荒島野人 Savage

　　　　反正不管怎麼樣，看完題目我就知道考什麼了(這並不能掩飾我WA幾次的事實)。一眼擴展歐幾裡得，數據規模也當然很支持。暴力枚舉m，n2擴歐就能跑過，速度較西方記者而言也不遑多讓。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
using namespace std;
const int N = 21;
int n,m,c[N],p[N],l[N];
inline int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
inline int Abs(int x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
  if(b==0){x=1;y=0;return;}
  exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}
inline bool check(int i,int j,int cir)
{
  int A=(p[i]-p[j]),B=cir,C=(c[j]-c[i]),X=0,Y=0;
  int d=gcd(A,B);if(C%d!=0)return true;
  exgcd(A,B,X,Y);B=Abs(B/d);
  X=((X/d*C)%B+B)%B;if(X==0)X+=B;
  return X>min(l[i],l[j]);
}
int main()
{
  n=gi();
  for(int i=1;i<=n;++i)
    c[i]=gi(),p[i]=gi(),l[i]=gi(),m=max(m,c[i]);
  for(;;++m)
    {
      int flag=1;
      for(int i=1;i<=n;++i)
    	for(int j=i+1;j<=n;++j)
	     if(!check(i,j,m))
	        {flag=0;i=n+1;break;}
      if(flag)break;
    }
  printf("%d",m);
  return 0;
}

 

 

　　2.機器人m號 robot

　　　　　　　講真我認為應該批判一番這個出題人，本來考場時間就不多，還花個10分鐘看題，還要記住什麼軍人學者政客(噫,怎麼這麼像他)。

　　 獨立數就是歐拉函數嘛，至於按因數數分類什麼的跟莫比烏斯函數關係並不(沒)大(有)。然後求出軍人政客後用歐拉函數的性質求出學者的個數就可以了。

　　 這題做法還是比較神的。歐拉函數不是是積性的嘛，它又是給你的質數因數，所以你利用積性+乘法結合律，就可以寫出一個二維DP的式子。但有一個更加高的方法就是直接把答案帶進去遞推，相當於用那個DP式子的分奇偶首碼和直接算，數組都不用開。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
using namespace std;
const LL Mod = 10000;
LL Ans1,Ans2,m,k;
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
void pL(LL x)
{
  if(x<0)putchar('-'),pL(-x);
  if(x<10)putchar(x+'0');
  else pL(x/10),putchar(x%10+'0');
}
void pc(){putchar('\n');}
LL gL()
{
  LL x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
LL Qpow(LL d,LL z)
{
  LL ans=1;
  for(;z;z>>=1,d=d*d%Mod)if(z&1)ans=ans*d%Mod;
  return ans;
}
int main()
{
  k=gL();m=1;
  for(LL i=1;i<=k;++i)
    {
      LL p=gL(),e=gL();
      m=m*Qpow(p,e)%Mod;
      if(p==2)continue;
      LL ans1=(Ans1+(Ans2+1)*(p-1))%Mod;
      LL ans2=(Ans2+Ans1*(p-1))%Mod;
      Ans1=ans1;Ans2=ans2;
    }
  pL(Ans2);pc();pL(Ans1);pc();pL(((m-Ans1-Ans2-1)%Mod+Mod)%Mod);
  return 0;
}

 

 

 

　　2.公式推導

　　題目給了你一個公式，但是直接算是顯然會T的，這個時候就要將公式等價化簡。這種題目SDOI以前是有的，現在他們的Oier身經百戰了，見的多了，這種問題就沒怎麼出現過了。但對於新手來說，對於對數論函數的高妙使用的熟悉還是有很大幫助的。

　　1.Longge的問題

你看，多麼簡單的一個問題，但顯然暴力是跑不過去的，這點上不管是香港記者還是松爺也必須承認的。

那麼我們必須考慮優化(不是底層優化！)。註意到有貢獻的只有gcd，且關於gcd有一個優美的性質：gcd(a/gcd(a,b),b/gcd(a,b))=1；

就是說除了gcd之後兩個數忽然就互質了，於是個數就是歐拉那麼多個。

於是答案就是sigma(d|n) d*phi(n/d)；phi線上爆算就可以了。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
using namespace std;
LL n,Ans;
LL gL()
{
  LL x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
LL get(LL x)
{
  LL ans=x;
  for(LL i=2;i*i<=x;++i)
    if(x%i==0)
      {
    ans=ans/i*(i-1);
    while(x%i==0)x/=i;
      }
  if(x!=1)ans=ans/x*(x-1);
  return ans;
}
int main()
{
  n=gL();
  for(LL i=1;i*i<=n;++i)
    if(n%i==0)
      {
    if(i*i==n)Ans+=i*get(i);
    else Ans+=(i*get(n/i)+(n/i)*get(i));
      }
  printf("%lld\n",Ans);
  return 0;
}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.GCD

這問的問題啊，還是太簡單，太幼稚。

一個數對(x,y)的gcd為質數p，如果假設x>y，那麼對於(x/p,y/p)而言答案就是很水的類似於上一題的操作了。

對於所有的數，我們用首碼和優化一下就可以了，答案再乘以2加上1就可以了。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define Inc i*Prime[j]
using namespace std;
const int N = 10010000;
int n,Prime[N],tot,ph[N],vis[N];
LL Q[N],Ans;
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
LL gl()
{
  LL x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
void prepare()
{
  ph[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;++i)
    {
      if(!vis[i]){Prime[++tot]=i;ph[i]=i-1;}
      for(int j=1;j<=tot;++j)
    {
      if(Inc>N)break;vis[Inc]=1;
      if(i%Prime[j])ph[Inc]=ph[i]*ph[Prime[j]];
      else{ph[Inc]=ph[i]*Prime[j];break;}
    }
    }
  for(int i=2;i<=n;++i)
    Q[i]=Q[i-1]+(LL)ph[i];
}
int main()
{
  n=gi();prepare();
  for(int i=1;i<=tot;++i)
    Ans+=(2*(Q[n/Prime[i]])+1);
  printf("%lld",Ans);
  return 0;
}

 

 

 

 

 

 

 

　　3.構建數學模型，巧妙轉化

　　這部分是最難的。就像數學原理人人都會，但數學題不見得人人都會做；誰都有過衝動，但有的人非要去肛坦克。一般碰到這種題目，不應及時下手，應該在草稿紙上理性分析，並且打好暴力驗證你的思想。學長傳授的人生經驗是，推一個式子打一遍，不要在過程中出現偏差。

1.儀仗隊

這道題簡直就是莫比烏斯反演的弱化版(第一象限)的弱化版(n=m)的弱化版(n<=40000)好嗎！真的不怕考場上有人打表嗎？

反正一個點能被看到就是這個點橫縱坐標的gcd=1才可以！你再只看一個上或者下三角，就是歐拉函數！水的一筆。

/**************************************************************
    Problem: 2190
    User: Ryze
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:24 ms
    Memory:1760 kb
****************************************************************/
 
#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define Inc i*Prime[j]
using namespace std;
const int N = 40100;
int n,vis[N],Prime[N],ph[N],tot,Ans;
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
void pui(int x)
{
  if(x<10)putchar(x+'0');
  else pui(x/10),putchar(x%10+'0');
}
void shai()
{
  ph[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;++i)
    {
      if(!vis[i]){Prime[++tot]=i;ph[i]=i-1;}
      for(int j=1;j<=tot;++j)
    {
      if(Inc>n)break;vis[Inc]=1;
      if(i%Prime[j])ph[Inc]=ph[i]*ph[Prime[j]];
      else {ph[Inc]=ph[i]*Prime[j];break;}
    }
      Ans+=ph[i];
    }Ans-=ph[n]-1;
}     
int main()
{
  n=gi();shai();
  printf("%d",Ans*2+1);
  return 0;
}

 

 

 

 

2.古代豬文

　　題面是很有趣的，充滿著批判的意味，仿佛是要弄出一個大新聞，讓人Excited！

　　在PKU的學長跟我們講這是板子合集，前提是你要看出來。

　　題目顯然求G的sigma{d|n}(一個組合數)次方。組合數之和做指數肯定是不支持的。因為模數是個質數，就把指數模一個phi(模數)=模數-1;又因為模數-1是個合數，且發現沒有相同質因數，就用擴展Lucas來敲。然後再打一個快速冪就可以AC這道牛逼哄哄的題目惹。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
using namespace std;
const LL Mod = 999911659;
const int N = 50010;
LL n,g,M[]={0,2ll,3ll,4679ll,35617ll},Y[10];
LL J[N],A[N],Z[10];
void pL(LL x)
{
  if(x<10)putchar(x+'0');
  else pL(x/10),putchar(x%10+'0');
}
LL gL()
{
  LL x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
void prepare(LL x)
{
  A[1]=J[0]=J[1]=1;
  for(LL i=2;i<x;++i)
    J[i]=J[i-1]*i%x,A[i]=((-(x/i)*A[x%i])%x+x)%x;
}
LL C(LL N,LL M,LL P)
{
  if(N<M)return 0ll;
  LL ans=J[N];
  ans*=A[J[M]];ans%=P;
  ans*=A[J[N-M]];ans%=P;
  return ans;
}
LL Lucas(LL N,LL M,LL P)
{
  if(!M)return 1ll;
  if(N<P&&M<P)return C(N,M,P);
  LL c=C(N%P,M%P,P);if(!c)return 0ll;
  LL L=Lucas(N/P,M/P,P);return c*L%P;
}
LL get(LL mod)
{
  LL ans=0;
  for(LL i=1;i*i<=n;++i)
    if(n%i==0)
      {
 　　   ans+=Lucas(n,i,mod);ans%=mod;
  　　  if(i*i!=n)ans+=Lucas(n,n/i,mod),ans%=mod;
      }
  return ans;
}
LL Qpow(LL d,LL z)
{
  LL ans=1;
  for(;z;z>>=1,d=d*d%Mod)if(z&1)ans=ans*d%Mod;
  return ans;
}
int main()
{
  n=gL();g=gL()%Mod;
  if(g==0){pL(0);return 0;}
  for(int t=1;t<=4;++t)
    {
      prepare(M[t]);
      Y[t]=get(M[t]);
      Z[t]=((Mod-1)/M[t])*A[((Mod-1)/M[t])%M[t]];
      Y[0]+=Y[t]*Z[t]%(Mod-1);Y[0]%=(Mod-1);
    }
  return pL(Qpow(g,Y[0])),0;
}

 

 

 

3.圓上的整點

　　這題真是神了系列。

　　首先你會想到a^2+b^2=r^2之枚舉a看b。現在我們來想想優化。

　　a^2+b^2=r^2；

　　a^2=r^2-b^2；

　　a^2=(r+b)(r-b)；

　　令d = gcd(右邊)；　　// 神奇思想。左式為完全平方數，就在右邊構建完全平方數。

　　a^2=d^2*[(r+b)/d]*[(r-b)/d]；

　　因為右邊是完全平方數，兩中括弧內的數互質，所以本身就是完全平方數。

　　令其分別為p^2,q^2；

　　則有： p^2+q^2=2r/d；

　　所以你就可以直接枚舉了。枚舉d,再枚舉p或者q就好。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <cstring>
#include    <cmath>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
#define fa (x >> 1)
#define MID  LL mid=(l+r)>>1
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
using namespace std;
LL Ans,r,R,p,q,A,B,X,Y,d;
LL gi()
{
  LL x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')res=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
LL gcd(LL a,LL b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
int main()
{
  R=gi();r=2*R;
  for(d=1;d<=sqrt(r);++d)
    {
      if(r%d==0)
        {
	  LL K1=r/d;K1/=2;K1=sqrt(K1);
	  for(q=1;q<K1;++q)
            {
	      p=sqrt(r/d-q*q);
	      if(p*p+q*q==r/d)
                {
		  A=p*p;B=q*q;
		  if(gcd(A,B)!=1 || A==B)continue;
		  else Ans++;
                }
            }
	  LL K2=d;K2/=2;K2=sqrt(K2);
	  for(q=1;q<=K2;++q)
            {
	      p=sqrt(d-q*q);
	      if(p*p+q*q==d)
                {
		  A=p*p;B=q*q;
		  if(gcd(A,B)!=1 || A==B)continue;
		  else Ans++;
                }
            }
        }
    }
  cout<<4*Ans+4;
}

 

 

 

 

優化技巧

1.數論分塊。

　　我們經常推公式推出來一個關於“取下整”的東西。其實這就是我們分塊優化的突破口。

　　打一個表，我們可以發現，[n/i]取下整這種東西的取值並不多，有很多連續的一段其實都是一個值。經過嚴謹的證明，大概有2√n個。

　　這個時候公式就可能可以得到簡化。我們用首碼和維護一下，在一段相同取值的塊內把整塊求出來，然後直接跳到下一個塊去。

　　公式是：

　　　　初始化：l=1,r;

　　　　分塊操作：r=n/(n/l);

　　　　下一塊：l=r+1;

　　這便是套路所在。有此分塊，O(n)的複雜度就被縮成了O(sqrt(n))；數論分塊在莫比烏斯和數論中應用十分廣泛，考點也很多。

下麵有一道經典的數論分塊題目，涉及到分塊後的不同操作，推薦一下：

模積和

 

這裡放白字題解：

　　在此我們先瞭解正整數意義下的模運算，叫做取餘運算。

　　n%p 可以用式子 n-(n/p)*p 來等效替代(僅限於整型)。

　　所以原式可以化簡，具體式子我就給一神犇學長的博客。他推的比我的清楚，而且裡面有套路。

　　所以接下來的就是喜聞樂見的各種分塊。註意一定要一步一模。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
using namespace std;
const LL Mod = 19940417;
LL n,m,Ans;
LL gL()
{
  LL x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
inline LL sum(LL l,LL r){return (r-l+1)*(r+l)/2%Mod;}
inline LL Sum(LL x){return x*(x+1)%Mod*(2*x+1)%Mod*3323403%Mod;}
inline LL calc(LL A)
{
  LL ret=0;
  for(LL l=1,r;l<=A;l=++r)
    {
      r=A/(A/l);
      ret+=(r-l+1)*A%Mod-(A/l)*sum(l,r)%Mod;
      ret=(ret%Mod+Mod)%Mod;
    }
  return ret;
}
LL cal(LL A)
{
  LL res=0;
  for(int l=1,r;l<=n;l=++r)
    {
      r=min(n/(n/l),m/(m/l));
      LL ans1=n*m%Mod*(r-l+1)%Mod;
      LL size=((Sum(r)-Sum(l-1))%Mod+Mod)%Mod;
      LL ans2=(n/l)*(m/l)%Mod*size%Mod;
      LL ans3=n*(m/l)%Mod*sum(l,r)%Mod;
      LL ans4=m*(n/l)%Mod*sum(l,r)%Mod;
      res=((res+ans1+ans2-ans3-ans4)%Mod+Mod)%Mod;
    }
  return res;
}
int main()
{
  n=gL();m=gL();if(n>m)swap(n,m);
  LL ans1=calc(n),ans2=calc(m);
  Ans=ans1*ans2%Mod;
  LL ans3=cal(n);Ans=(Ans-ans3)%Mod;
  printf("%lld\n",(Ans+Mod)%Mod);
  return 0;
}

 2.未完待續... ...

 

 

 


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    這段時間在做項目，發現自己忘得好快呀，幸虧有博客園幫我記著呢，整理博客園簡直不要太重要了哦 因為做的是一個內部管理系統，只用了一個主頁面，所有的都不允許整個網頁刷新，所以我們只能用ajax 來做，當然剛開始做也走了很多的彎路，最終還是做出來了 這點還是比較欣慰的 今天要整理一下ajax實現修改功能 ...
  • FunDA（17）－ 示範：異常處理與事後處理 - Exceptions handling and Finalizers
    作為一個能安全運行的工具庫，為了保證占用資源的安全性，對異常處理（exception handling）和事後處理（final clean-up）的支持是不可或缺的。FunDA的數據流FDAPipeLine一般是通過讀取資料庫數據形成數據源開始的。為了保證每個數據源都能被安全的使用，FunDA提供了 ...
  • Python基礎-編碼與解碼
    一、什麼是編碼 編碼是指信息從一種形式或格式轉換為另一種形式或格式的過程。 在電腦中，編碼，簡而言之，就是將人能夠讀懂的信息（通常稱為明文）轉換為電腦能夠讀懂的信息。眾所周知，電腦能夠讀懂的是高低電平，也就是二進位位（0，1組合）。 而解碼，就是指將電腦的能夠讀懂的信息轉換為人能夠讀懂的信息 ...
  • Hibernate的配置與簡單使用
    一、概念 Hibernate是一個開源的對象關係映射（ORM）框架，它對JDBC進行了非常輕量級的對象封裝，使得Java程式員可以拋棄在程式中編寫SQL語句，隨心所欲的使用對象編程思維來操縱資料庫。 二、準備工作 在Eclipse中安裝HibernateTools插件:Help -> Install ...
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    前言 QuestPDF 是一個開源 .NET 庫，用於生成 PDF 文檔。使用了C# Fluent API方式可簡化開發、減少錯誤並提高工作效率。利用它可以輕鬆生成 PDF 報告、發票、導出文件等。 項目介紹 QuestPDF 是一個革命性的開源 .NET 庫，它徹底改變了我們生成 PDF 文檔的方 ...
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    前言 隨著物聯網（IoT）技術的迅猛發展，MQTT（消息隊列遙測傳輸）協議憑藉其輕量級和高效性，已成為眾多物聯網應用的首選通信標準。 MQTTnet 作為一個高性能的 .NET 開源庫，為 .NET 平臺上的 MQTT 客戶端與伺服器開發提供了強大的支持。 本文將全面介紹 MQTTnet 的核心功能 ...
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  • 第28篇 如何.net中實現高效可靠數據同步api
    通過以下方式可以高效，並保證數據同步的可靠性 1.API設計 使用RESTful設計，確保API端點明確，並使用適當的HTTP方法（如POST用於創建，PUT用於更新）。 設計清晰的請求和響應模型，以確保客戶端能夠理解預期格式。 2.數據驗證 在伺服器端進行嚴格的數據驗證，確保接收到的數據符合預期格 ...
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