世界是物質的，物質是運動的，運動是有規律的，規律是可以被認識的 二項式反演 $$ g_n=\sum_{i=0}^n \binom{n}if_i\Rightarrow f_n=\sum_{i=0}^n( 1)^{n i}\binom{n}ig_i $$ 證明如下 $$ \begin{aligned} ...
世界是物質的，物質是運動的，運動是有規律的，規律是可以被認識的
二項式反演
\[ g_n=\sum_{i=0}^n \binom{n}if_i\Rightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}ig_i \]
證明如下
\[ \begin{aligned} \sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}ig_i &=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}i\sum_{j=0}^i\binom{i}jf_i\\ &=\sum_{j=0}^nf_i \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}i\binom{i}j\\ &=\sum_{j=0}^nf_i \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}j\binom{n-j}{i-j}\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n-j}{i-j}\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j \sum_{i=0}^{n-j}(-1)^{n-j-i}\binom{n-j}i\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j\times (1-1)^{n-j} \end{aligned} \]
在預設\(0^0=1\)的情況下，顯然
\[ \sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j\times (1-1)^{n-j}=f_n\\ f_n=f_n \]
最值反演
\[ \max(S)=\sum_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-1}\min(T)\\ E_\forall(S)=\sum_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-1}E_\exists(T)\\ \text{lcm}(S)=\prod_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-1}\gcd(T)\\ \]
其中，\(S,T\not=\varnothing\)。
推導第一類
設繫數函數\(f\)滿足
\[
\max(S)=\sum_{T\subseteq S} f(|T|)\min(T)
\]
考慮\(S\)中第\(x+1\)大元素作為子集的最小值的情況數，顯然
\[
\sum_{i=0}^x\binom{x}if(i+1) = [x=0]\\
f(x+1)=\sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}\binom{x}i[i=0]=(-1)^x
\]
於是\(f(x)=(-1)^{x-1}\)。
擴展
\[
\text{maxk}(S)=\sum_{T\subseteq S} f(|T|)\min(T)
\]
此時需要滿足
\[
\sum_{i=0}^x\binom{x}if(i+1) = [x=k-1]\\
f(x+1)=\sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}\binom{x}i[i=k-1]=(-1)^{x-k+1}\binom{x}{k-1}
\]
即\(f(x)=(-1)^{x-k}\binom{x-1}{k-1}\)。
\[
\text{maxk}(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T)
\]
