[LGP4707] 重返現世

世界是物質的，物質是運動的，運動是有規律的，規律是可以被認識的。

關於期望意義下min-max容斥，我們認為每個事件的時間來認識事件，max/min S表示集合S中所有時間最後/最前出現的事件，E(max/min S)表示事件max/min S首次發生的期望時間。這樣，仿照普通min-max容斥的推導可得
\[ E(\max S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}E(\min T) \]
同理的kth-max-min也成立
\[ E(\max_k S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}E(\min T) \]
而對於\(E(\min S)\)我們有
\[ E(\min S)=\frac1{\sum_{e\in S}P(e)}\\ E(\max_k S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\frac1{\sum_{e\in T}P(e)} \]

贊美太陽，重返現世。

我們求的是收集到任意k種，所以
\[ E(\min_k S)=E(\max_{n-k+1} S)\\ k\Leftarrow n-k+1 \]
考慮由前\(i\)種時間構成的集合\(S_i\)，計算其\(E(\max_k S_i)\)時記\(f[i,j,k]\)為滿足\(T\in S_i, \sum_{e\in T}P(e)=j\)的繫數和，即
\[ f[i,j,k]=\sum_{T\in S_i, \sum_{e\in T}P(x)=j} (-1)^{|T-k|}\binom{|T|-1}{k-1} \]
顯然最終答案
\[ E(\max_k)=\sum_{j}f[n,j,k]\times \frac1j \]
由於題目規定\(P(x)=\frac{P_x}m\)，則\(E(x)=\frac{m}{P_x}\)，最後將\(m\)單獨乘入即可。

再考慮dp的轉移，決策是事件\(i\)的加入對繫數的影響
\[ f[i,j,k]=\sum_{... i\not\in T} (-1)^{|T-k|}\binom{|T|-1}{k-1}+\sum_{... i\in T} (-1)^{|T-k|}\binom{|T|-1}{k-1}\\ =f[i-1,j,k]+\sum_{... i\in T} (-1)^{|T-k|}(\binom{|T|-2}{k-1}+\binom{|T|-2}{k-2})\\ =f[i-1,j,k]+\sum_{... i\in T} (-1)^{|T-k|}\binom{|T|-2}{k-1}+\sum_{... i\in T} (-1)^{|T-k|}\binom{|T|-2}{k-2}\\ =f[i-1,j,k]-f[i-1,j-P_i,k]+f[i-1,j-P_i,k-1]\\ \]
於是暴力做就行了。

#include <bits/stdc++.h>
#define IL inline 
#define ll long long 
using namespace std;
const int N=1e3+10;
const int M=1e4+10;
const int mod=998244353;

int n,K,m,p[N],s[N];
int ans,inv[M],f[2][M][12];

int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&K,&m); K=n-K+1;
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        scanf("%d",p+i);
        s[i]=s[i-1]+p[i];
    }
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        memset(f[i&1],0,sizeof f[0]);
        auto F=f[i&1],G=f[(i&1)^1];
        F[0][0]=1;
        for(int j=1; j<p[i]; ++j) 
        for(int k=1; k<=K; ++k) 
            F[j][k]=G[j][k];
        for(int j=p[i]; j<=s[i]; ++j) 
        for(int k=1; k<=K; ++k) 
            F[j][k]=(G[j][k]+(mod-G[j-p[i]][k]+G[j-p[i]][k-1])%mod)%mod;
    }
    inv[1]=1;
    for(int i=1; i<=m; ++i) {
        if(i>1) inv[i]=(ll)inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
        ans=(ans+(ll)f[n&1][i][K]*inv[i]%mod*m%mod)%mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}