一、問題描述 給定兩個字元串，求解這兩個字元串的最長公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字元串1：BDCABA；字元串2：ABCBDAB。則這兩個字元串的最長公共子序列長度為4，最長公共子序列是：BCBA 二、演算法求解 這是一個動態規劃的題目。對於可用動態規劃求解的問題 ...
一、問題描述
給定兩個字元串，求解這兩個字元串的最長公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字元串1：BDCABA；字元串2：ABCBDAB。則這兩個字元串的最長公共子序列長度為4，最長公共子序列是：BCBA
二、演算法求解
這是一個動態規劃的題目。對於可用動態規劃求解的問題，一般有兩個特征：①最優子結構；②重疊子問題
①最優子結構
設X=(x1,x2,...,xn)和Y=(y1,y2,...,ym)是兩個序列，將X和Y的最長公共子序列記為LCS(X,Y)
找出LCS(X,Y)就是一個最優化問題。因為，我們需要找到X和Y中最長的那個公共子序列。而要找X和Y的LCS，首先考慮X的最後一個元素和Y的最後一個元素。
⑴如果xn=ym，即X的最後一個元素與Y的最後一個元素相同，這說明該元素一定位於公共子序列中。因此，現在只需要找：LCS(Xn-1,Ym-1)
LCS(Xn-1,Ym-1)就是原問題的一個子問題。為什麼叫子問題？因為它的規模比原問題小。
為什麼是最優的子問題？因為我們要找的是Xn-1和Ym-1的最長公共子序列啊。最長的！換句話說就是最優的那個。
⑵如果xn!=ym，這下要麻煩一點，因為它產生了兩個子問題：LCS(Xn-1,Ym)和LCS(Xn,Ym-1)
因為序列X和序列Y的最後一個元素不相等，那說明最後一個元素不可能是最長公共子序列中的元素。
LCS(Xn-1,Ym)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,...xn-1)和(y1,y2,...,ym)中找。
LCS(Xn,Ym-1)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,...xn)和(y1,y2,...,ym-1)中找。
求解上面兩個子問題，得到的公共子序列誰最長，那誰就是LCS(X,Y)。用數學表示就是：
LCS=max{LCS(Xn-1,Ym),LCS(Xn,Ym-1)}
由於條件⑴和⑵考慮到了所有可能的情況。因此，我們成功的把原問題轉化成了三個規模更小的問題。
②重疊子問題
重疊子問題是什麼？就是說原問題轉化成子問題後，子問題中有相同的問題。
原問題是：LCS(X,Y)。子問題有❶LCS(Xn-1,Ym-1)❷ LCS(Xn-1,Ym)❸ LCS(Xn,Ym-1)
乍一看，這三個問題是不重疊的。可本質上它們是重疊的，因為它們只重疊了一大部分。舉例：
第二個子問題：LCS(Xn-1,Ym)就包含了問題❶LCS(Xn-1,Ym-1)，為什麼？
因為，當Xn-1和Ym的最後一個元素不相同時，我們又需要將LCS(Xn-1,Ym-1)進行分解：分解成：LCS(Xn-1,Ym-1)和LCS(Xn-2,Ym)
也就是說：在子問題的繼續分解中，有些問題是重疊的。
由於像LCS這樣的問題，它具有重疊子問題的性質，因此：用遞歸來求解就太不划算了。國為採用遞歸，它重覆地求解了子問題，而且需要註意的是，所有子問題加起來的個數是指數級的。
那麼問題來了，如果用遞歸求解，有指數級個子問題，故時間複雜度是指數級的。這指數級個子問題，難道用了動態規劃，就變成多項式時間了？？
關鍵是採用動態規劃時，並不需要去一一計算那些重疊了的子問題。或者說：用了動態規劃之後，有些子問題是通過“查表”直接得到的，而不是重新又計算一遍得到的。舉個例子：比如求Fib數列。
求fib(5)，分解成了兩個子問題：fib(4)和fib(3)，求解fib(4)和fib(3)時，又分解了一系列的小問題...
從圖中可以看出：根的左右子樹：fib(4)和fib(3)下，是有很多重疊的！比如，對於fib(2)，它就一共出現了三次。如果用遞歸來求解，fib(2)就會被計算三次，而用DP（Dynamic Programming）動態規劃，則fib(2)只會計算一次，其他兩次則是通過“查表”直接求得。而且，更關鍵的是：查找求得該問題的解之後，就不需要再繼續去分解該問題了。而對於遞歸，是不斷地將問題解，直到分解為基準問題（fib(0)或者fib(1)）
說了這麼多，還是寫下最長公共子序列的遞歸式才完整。
C[i,j]表示：(x1,x2,...,xi)和(y1,y2,...,yj)的最長公共子序列的長度。公式的具體解釋可參考《演算法導論》動態規劃章節
三、LCS Python代碼實現
#! /usr/bin/env python3 # -*- coding:utf-8 -*- # Author : mayi # Blog : http://www.cnblogs.com/mayi0312/ # Date : 2019/5/16 # Name : test03 # Software : PyCharm # Note : 用於實現求解兩個字元串的最長公共子序列 def longestCommonSequence(str_one, str_two, case_sensitive=True): """ str_one 和 str_two 的最長公共子序列 :param str_one: 字元串1 :param str_two: 字元串2（正確結果） :param case_sensitive: 比較時是否區分大小寫，預設區分大小寫 :return: 最長公共子序列的長度 """ len_str1 = len(str_one) len_str2 = len(str_two) # 定義一個列表來保存最長公共子序列的長度，並初始化 record = [[0 for i in range(len_str2 + 1)] for j in range(len_str1 + 1)] for i in range(len_str1): for j in range(len_str2): if str_one[i] == str_two[j]: record[i + 1][j + 1] = record[i][j] + 1 elif record[i + 1][j] > record[i][j + 1]: record[i + 1][j + 1] = record[i + 1][j] else: record[i + 1][j + 1] = record[i][j + 1] return record[-1][-1] if __name__ == '__main__': # 字元串1 s1 = "BDCABA" # 字元串2 s2 = "ABCBDAB" # 計算最長公共子序列的長度 res = longestCommonSequence(s1, s2) # 列印結果 print(res) # 4
