無源匯上下界可行流

題目

給出一個有向圖。每條邊有流量上界和下界，問是否存在一中流量分配方案，使得每個點流量守恆(即流入量=流出量)

思路

解決這種問題的主體思路就是在初始流的基礎上不斷添加流量，使得滿足流量守恆。
初始流很顯然應該是每條邊流量的下界。
但是這樣並不滿足流量守恆。然後考慮添加流量。
對於一個點，我們設初始流中他的流入量為\(rd\)，流出量為\(cd\)。設\(d=rd-cd\)。
然後對\(d\)進行分類討論。
如果\(d < 0\)，則表示流入量要比流出量小，那麼我們應該給多出來的流出量一個流出去的地方。所以就將點\(i\)向匯點T連一條容量為\(-d\)的邊。
如果\(d > 0\)，則表示流入量要比流出量大，那麼我們應該給多出來的流入量一個來的地方。所以就從\(S\)向點\(i\)連一條容量為\(d\)的邊。
如果\(d = 0\)，那麼流量已經守恆，就不用添加附加流了。
然後考慮怎麼統計答案。
如果想要有可行流的話，那麼\(S\)連出去的每條邊必須滿流，否則肯定沒有可行流，這是一定的。
然後對於一條邊他最終的流量應該是初始流+附加流。初始流就是流量下界。附加流就是反向邊了。因為我們把減掉的流量都加到反向邊上去了。

例題

題目鏈接

代碼

/*
* @Author: wxyww
* @Date:   2019-02-10 14:09:32
* @Last Modified time: 2019-02-10 14:26:40
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 200000,INF = 1e9;
ll read() {
    ll x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {
        if(c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9') {
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}
struct node {
    int v,nxt,w;
}e[N];
int head[N],ejs = 1;
void add(int u,int v,int w) {
    e[++ejs].v = v;e[ejs].w = w;e[ejs].nxt = head[u];head[u] = ejs;
    e[++ejs].v = u;e[ejs].w = 0;e[ejs].nxt = head[v];head[v] = ejs;
}
queue<int>q;
int dep[N],S,T;
int rd[N],cur[N],cd[N];
int bfs() {
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    while(!q.empty()) q.pop();
    dep[S] = 1;q.push(S);
    while(!q.empty()) {
        int u = q.front();q.pop();
        for(int i = head[u];i;i = e[i].nxt) {
            int v = e[i].v;
            if(!dep[v] && e[i].w) {
                q.push(v);
                dep[v] = dep[u] + 1;
                if(v == T) return 1;
            }
    }
    }
    return 0;
}
int dfs(int u,int now) {
    if(u == T) return now;
    int ret = 0;
    for(int &i = cur[u];i;i = e[i].nxt) {
        int v = e[i].v;
        if(dep[v] == dep[u] + 1 && e[i].w) {
            int k = dfs(v,min(now - ret,e[i].w));
            e[i].w -= k;
            e[i ^ 1].w += k;
            ret += k;
            if(now == ret) return ret;
        }
    }
    return ret;
}
int dinic() {
    int ans = 0;
    while(bfs()) {
        memcpy(cur,head,sizeof(cur));
        ans += dfs(S,INF);
    }
    return ans;
}

int ans[N];
int low[N];
int main() {
    int n = read(),m = read();
    S = n + 1,T = S + 1;
    for(int i = 1;i <= m;++i) {
        int u = read(),v = read();low[i] = read();int up = read();
        add(u,v,up - low[i]);
        ans[i] = ejs;
        rd[v] += low[i];cd[u] += low[i];
    }
    for(int i = 1;i <= n;++i) {
        int z = rd[i] - cd[i];
        if(z > 0) add(S,i,z);
        if(z < 0) add(i,T,-z);
    }
    // puts("!!!");
    dinic();
    int bz = 0;
    for(int i = head[S];i;i = e[i].nxt) {
        if(e[i].w) {
            puts("NO");return 0;
        }
    }
    puts("YES");
    for(int i = 1;i <= m;++i)
        printf("%d\n",e[ans[i]].w + low[i]);
    return 0;
}

有源匯上下界可行流

只要將\(T\)到\(S\)之間連一條容量為\(INF\)的邊，就可以轉化為無源匯上下界可行流了\(233\)。