洛谷P4093 [HEOI2016/TJOI2016]序列

題目描述

佳媛姐姐過生日的時候，她的小伙伴從某寶上買了一個有趣的玩具送給他。玩具上有一個數列，數列中某些項的值可能會變化，但同一個時刻最多只有一個值發生變化。現在佳媛姐姐已經研究出了所有變化的可能性，她想請教你，能否選出一個子序列，使得在任意一種變化中，這個子序列都是不降的？請你告訴她這個子序列的最長長度即可 。

註意：每種變化最多只有一個值發生變化。在樣例輸入1中，所有的變化是：

1 2 3 
2 2 3 
1 3 3 
1 1 3
1 2 4 

選擇子序列為原序列，即在任意一種變化中均為不降子序列在樣例輸入2中，所有的變化是:

3 3 3
3 2 3

選擇子序列為第一個元素和第三個元素，或者第二個元素和第三個元素，均可滿足要

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入的第一行有兩個正整數n, m，分別表示序列的長度和變化的個數。接下來一行有n個數，表示這個數列原始的狀態。接下來m行，每行有2個數x, y，表示數列的第x項可以變化成y這個值。1 <= x <= n。

輸出格式：

輸出一個整數，表示對應的答案

輸入輸出樣例

3 4 
1 2 3 
1 2 
2 3 
2 1 
3 4

3

說明

對於20%數據所有數字均為正整數，且小於等於300

對於50%數據所有數字均為正整數，且小於等於3,000

對於100%數據所有數字均為正整數，且小於等於100,000

這道題是DP應該不難看出來。

$dp[i]$表示選擇$i$以後所能形成的滿足條件的子序列的最大值

轉移的時候枚舉前面的點$(j)$。

設$MX[i]$表示$i$號位置能變成的最大值，$MI[i]$表示$i$號位置能變成的最小值，$a$為原序列

這樣轉移的時候會有兩個限制條件

$a[i]>=MX[j]$ && $MI[i]>=a[j]$

這很明顯是個二維偏序問題嘛，用CDQ樹套樹什麼的都可以搞。

樹套樹的話，將$a$抽象為$x$軸，將$MX$抽象為$y$軸

轉移的時候我們實際是在左下角為$(0,0)$，右上角為$MI[i],a[i]$的矩陣中查最大值

每次轉移對答案的貢獻的話實際上只是改變了$a[i],mx[i]$的值

然後就能很自然的想到樹套樹了，線段樹套線段樹或者樹狀數組套線段樹都可以搞

後者常數小一些

線段樹的數組一定要開的足夠大！！！！

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=6*1e6+10;
const int MAXNN=1e5+10;
const int INF=1e8+10;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int root[MAXN],N,M,MX[MAXNN],MI[MAXNN],a[MAXNN];
struct S
{
    struct node
    {
        int ls,rs,mx;
    }T[MAXN];
    int tot;
    int query(int now,int ll,int rr,int pos)
    {
        if(ll==rr) 
            return T[now].mx;
        int mid=ll+rr>>1;
        if(pos<=mid) 
            return query(T[now].ls,ll,mid,pos);
        else 
            return max( T[T[now].ls].mx , query(T[now].rs,mid+1,rr,pos));    
    }
    void change(int &now,int ll,int rr,int pos,int val)
    {
        if(!now) now=++tot;
        T[now].mx=max(T[now].mx,val);
        if(ll==rr) return ;
        int mid=ll+rr>>1;
        if(pos<=mid) change(T[now].ls,ll,mid,pos,val);
        else          change(T[now].rs,mid+1,rr,pos,val);
    }
}tree;
struct B
{ 
    int N;
    int Tree[MAXNN];
    int lowbit(int p) {return p&(-p);}
    int Query(int k,int val)
    {
        int ans=0;
        while(k) 
        {
            ans=max(ans,tree.query(root[k],1,N,val));
            k-=lowbit(k);
        }
        return ans;
    }
    void Change(int k,int pos,int val)
    {
        while(k<=N)
        {
            tree.change(root[k],1,N,pos,val);
            k+=lowbit(k);
        }
    }
}BIT;
int main()
{
    //freopen("heoi2016_seq.in","r",stdin);
    //freopen("heoi2016_seq.out","w",stdout);
    N=read();M=read();
    for(int i=1;i<=N;i++) MX[i]=MI[i]=a[i]=read();
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        MX[x]=max(MX[x],y);BIT.N=max(BIT.N,MX[x]);
        MI[x]=min(MI[x],y);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        int now=BIT.Query(MI[i],a[i])+1;
        BIT.Change(a[i],MX[i],now);
        ans=max(ans,now);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}