Apple Tree POJ - 2486

Apple Tree POJ - 2486

題目大意：一棵點帶權有根樹，根節點為1。從根節點出發，走k步，求能收集的最大權值和。

樹形dp。複雜度可能是O(玄學)，不會超過$O(nk^2)$。（反正這題不卡這個，考思想）參考

ans[i][j][0]表示i點以下共走j步，不回來，可能收集到最大的權值
ans[i][j][1]表示i點以下共走j步，回來，可能收集到最大的權值

比較複雜的是，每個節點（以下稱當前節點）從其子節點轉移的時候，需要用一個背包：

t[i][j][0]表示當前節點的前i個子節點共走j步，不回來
t[i][j][1]表示當前節點的前i個子節點共走j步，回來

對於t[i][j][0]，要麼是當前節點的前i-1個子節點共走j步（包括去和回來前面的子節點所用步數），在之前就不回來；

要麼是前i-1個子節點共走j-p步（包括去和回來前面的子節點所用步數），當前節點走到第i個子節點用1步，第i個子節點向下走p-1步，不回來；

要麼是花一步走到第i個子節點，在第i個子節點往下走p-2步，再花一步走回當前節點，再在前i-1個子節點中走j-p步（包括去和回來前面的子節點所用步數）並且不回來。

因此t[i][j][0]=max(t[i-1][j][0],max{t[i-1][j-p][1]+ans[nowson][p-1][0]},max{t[i-1][j-p][0]+ans[nowson][p-2][1]})

對於t[i][j][1]，要麼是前i-1個子節點共走j-p步（包括去和回來前面的子節點所用步數），走到第i個子節點花1步，第i個子節點向下走用p-2步並回來，從第i個子節點回來花一步；要麼是前i-1個子節點共走j步（包括去和回來前面的子節點所用步數），回來。

因此t[i][j][1]=max(t[i-1][j][1],max{t[i-1][j-p][1]+ans[nowson][p-2][1]})

當然實際求解的時候並不需要每個節點開一個t數組，只需要在ans數組上直接做就行了。就是先對t數組求解過程用滾動數組優化，那麼只需要兩維t[j][0/1]。這時只需要把ans[當前節點]的數組當做t去做就行了。另外，求解t數組的邊界要註意一下。另外，t數組再求解前就全部初始化成當前節點權值就行了。

最終答案很顯然：max(ans[1][k][0],ans[1][k][1])。

曾經錯誤：

naive的轉移方程：

t[i][j][0]=max(t[i-1][j][0],t[i-1][j-p][0],t[i-1][j-p][1]+ans[son][p][0])
t[i][j][1]=max(t[i-1][j][1],t[i-1][j-p][1]+ans[son][p][1])

事實上，這道題轉移t[i][j][0]的第3種（標紅的）情況很容易遺漏。另外，很容易忽略走去與走回子節點花費的1或2步。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 struct Edge
 6 {
 7     int to,next;
 8 }edge[210];
 9 int ne,ans[110][210][2],f1[110];
10 int a[110];
11 int n,k;
12 bool vis[110];
13 void dfs(int u)
14 {
15     int j,kk=f1[u],p,v;
16     vis[u]=true;
17     for(j=0;j<=k;j++)
18         ans[u][j][0]=ans[u][j][1]=a[u];
19     while(kk!=0)
20     {
21         v=edge[kk].to;
22         if(!vis[v])
23         {
24             dfs(v);
25             for(j=k;j>=0;j--)
26             {
27                 for(p=1;p<=j;p++)
28                     ans[u][j][0]=max(ans[u][j][0],max(ans[u][j-p][0]+ans[v][p-2][1],ans[u][j-p][1]+ans[v][p-1][0]));
29                 for(p=2;p<=j;p++)
30                     ans[u][j][1]=max(ans[u][j][1],ans[u][j-p][1]+ans[v][p-2][1]);
31             }
32         }
33         kk=edge[kk].next;
34     }
35 }
36 int main()
37 {
38     int i,ta,tb;
39     while(scanf("%d%d",&n,&k)==2)
40     {
41         ne=0;
42         memset(ans,0,sizeof(ans));
43         memset(vis,0,sizeof(vis));
44         memset(f1,0,sizeof(f1));
45         for(i=1;i<=n;i++)
46             scanf("%d",&a[i]);
47         for(i=1;i<n;i++)
48         {
49             scanf("%d%d",&ta,&tb);
50             edge[++ne].to=tb;
51             edge[ne].next=f1[ta];
52             f1[ta]=ne;
53             edge[++ne].to=ta;
54             edge[ne].next=f1[tb];
55             f1[tb]=ne;
56         }
57         dfs(1);
58         printf("%d\n",max(ans[1][k][0],ans[1][k][1]));
59     }
60     return 0;
61 }