空間插值——克裡金插值

克裡金法是通過一組具有 z 值的分散點生成估計錶面的高級地統計過程。與插值工具集中的其他插值方法不同，選擇用於生成輸出錶面的最佳估算方法之前，有效使用克裡金法工具涉及 z 值表示的現象的空間行為的交互研究。

什麼是克裡金法？

IDW（反距離加權法）和樣條函數法插 值工具被稱為確定性插值方法，因為這些方法直接基於周圍的測量值或確定生成錶面的平滑度的指定數學公式。第二類插值方法由地統計方法（如克裡金法）組成， 該方法基於包含自相關（即，測量點之間的統計關係）的統計模型。因此，地統計方法不僅具有產生預測錶面的功能，而且能夠對預測的確定性或準確性提供某種度 量。

克裡金法假定採樣點之間的距離或方向可以反映可用於說明錶面變化的空間相關性。克裡金法工 具可將數學函數與指定數量的點或指定半徑內的所有點進行擬合以確定每個位置的輸出值。克裡金法是一個多步過程；它包括數據的探索性統計分析、變異函數建模 和創建錶面，還包括研究方差錶面。當您瞭解數據中存在空間相關距離或方向偏差後，便會認為克裡金法是最適合的方法。該方法通常用在土壤科學和地質中。

克裡金法公式

由於克裡金法可對周圍的測量值進行加權以得出未測量位置的預測，因此它與反距離權重法類似。這兩種插值器的常用公式均由數據的加權總和組成：

• 其中：

  Z(s_i) = 第 i 個位置處的測量值

  λ_i = 第 i 個位置處的測量值的未知權重

  s₀ = 預測位置

  N = 測量值數

在反距離權重法中，權重 λ_i 僅取決於預測位置的距離。但是，使用克裡金方法時，權重不僅取決於測量點之間的距離、預測位置，還取決於基於測量點的整體空間排列。要在權重中使用空間排列，必須量化空間自相關。因此，在普通克裡金法中，權重 λ_i 取決於測量點、預測位置的距離和預測位置周圍的測量值之間空間關係的擬合模型。以下部分將討論如何使用常用克裡金法公式創建預測錶面地圖和預測準確性地圖。

使用克裡金法創建預測錶面地圖

要使用克裡金法插值方法進行預測，有兩個任務是必需的：

• 找到依存規則。
• 進行預測。

要實現這兩個任務，克裡金法需要經歷一個兩步過程：

1. 創建變異函數和協方差函數以估算取決於自相關模型（擬合模型）的統計相關性（稱為空間自相關）值。
2. 預測未知值（進行預測）。

由於這兩個任務是不同的，因此可以確定克裡金法使用了兩次數據：第一次是估算數據的空間自相關，第二次是進行預測。

變異分析

擬合模型或空間建模也稱為結構分析或變異分析。在測量點結構的空間建模中，以經驗半變異函數的圖形開始，針對以距離 h 分隔的所有位置對，通過以下方程進行計算：

Semivariogram(distance

) = 0.5 * average{(value

 – value

}

]

該公式涉及到計算配對位置的差值平方。

下圖顯示了某個點（紅色點）與所有其他測量位置的配對情況。會對每個測量點執行該過程。

通 常，各位置對的距離都是唯一的，並且存在許多點對。快速繪製所有配對則變得難以處理。並不繪製每個配對，而是將配對分組為各個步長條柱單元。例如，計算距 離大於 40 米但小於 50 米的所有點對的平均半方差。經驗半變異函數是 y 軸上表示平均半變異函數值，x 軸上表示距離或步長的圖（請參閱下圖）。

空 間自相關量化時採用以下地理的基本原則：距離較近的事物要比距離較遠的事物更相似。因此，位置對的距離越近（在半變異函數雲的 x 軸上最左側），具有的值就應該越相似（在半變異函數雲的 y 軸上較低處）。位置對的距離變得越遠（在半變異函數雲的 x 軸上向右移動），就應該變得越不同，差值的平方就會更高（在半變異函數雲的 y 軸上向上移動）。

根據經驗半變異函數擬合模型

下 一步是根據組成經驗半變異函數的點擬合模型。半變異函數建模是空間描述和空間預測之間的關鍵步驟。克裡金法的主要應用是預測未採樣位置處的屬性值。經驗半 變異函數可提供有關數據集的空間自相關的信息。但是，不提供所有可能的方向和距離的信息。因此，為確保克裡金法預測的克裡金法方差為正值，根據經驗半變異 函數擬合模型（即，連續函數或曲線）是很有必要的。該操作理論上類似於回歸分析，在此回歸分析中將根據數據點擬合連續線或曲線。

要 根據經驗半變異函數擬合模型，則選擇用作模型的函數（例如，開始時上升併在距離變大而超過某一範圍後呈現水平狀態的球面類型）（請參閱下麵的球面模型示 例）。經驗半變異函數上的點與模型有一些偏差；一些點在模型曲線上方，一些點在模型曲線下方。但是，如果添加一個相應的距離，每個點都會線上上方，或者如 果添加另一個相應的距離，每個點都會線上下方，這兩個距離值應該是相似的。有多種半變異函數模型可供選擇。

半變異函數模型

克裡金法工具提供了以下函數，可以從中選擇用於經驗半變異函數建模的函數：

• 圓
• 球面
• 指數
• 高斯
• 線性

所選模型會影響未知值的預測，尤其是當接近原點的曲線形狀明顯不同時。接近原點處的曲線越陡，最接近的相鄰元素對預測的影響就越大。這樣，輸出曲面將更不平滑。每個模型都用於更準確地擬合不同種類的現象。

下圖顯示了兩個常用模型並確定了函數的不同之處：

球面模型示例

該模型顯示了空間自相關逐漸減小（等同於半方差的增加）到超出某個距離後自相關為零的過程。球面模型是最常用的模型之一。

指數模型示例

該模型在空間自相關隨距離的增加呈指數減小時應用。在這裡，自相關僅會在無窮遠處完全消失。指數模型也是常用模型。要選擇使用哪個模型基於數據的空間自相關和數據現象的先驗知識。

有關更多數學模型的信息，請參見下麵。

瞭解半變異函數 - 變程、基台和塊金

正如前文所述，半變異函數顯示了測量樣本點的空間自相關。由於地理的基本原則（距離越近的事物就越相似），通常，接近的測量點的差值平方比距離很遠的測量點的差值平方小。各位置對經調整後進行繪製，然後模型根據這些位置進行擬合。通常使用變程、基台和塊金描述這些模型。

變程和基台

查看半變異函數的模型時，您將註意到模型會在特定距離處呈現水平狀態。模型首次呈現水平狀態的距離稱為變程。比該變程近的距離分隔的樣本位置與空間自相關，而距離遠於該變程的樣本位置不與空間自相關。

半變異函數模型在變程處所獲得的值（y 軸上的值）稱為基台。偏基台等於基台減去塊金。塊金會在以下部分進行描述。

塊金

從理論上講，在零間距（例如，步長 = 0）處，半變異函數值是 0。但是，在無限小的間距處，半變異函數通常顯示塊金效應，即值大於 0。如果半變異函數模型在 y 軸上的截距為 2，則塊金為 2。

塊 金效應可以歸因於測量誤差或小於採樣間隔距離處的空間變化源（或兩者）。由於測量設備中存在固有誤差，因此會出現測量誤差。自然現象可隨著比例範圍變化而 產生空間變化。小於樣本距離的微刻度變化將表現為塊金效應的一部分。收集數據之前，能夠理解所關註的空間變化比例非常重要。

進行預測

找出數據中的相關性或自相關性（請參閱上面的變異分析部分）並完成首次數據應用後（即，使用數據中的空間信息計算距離和執行空間自相關建模），您可以使用擬合的模型進行預測。此後，將撇開經驗半變異函數。

現 在即可使用這些數據進行預測。與反距離權重法插值類似，克裡金法通過周圍的測量值生成權重來預測未測量位置。與反距離權重法插值相同，與未測量位置距離最 近的測量值受到的影響最大。但是，周圍測量點的克裡金法權重比反距離權重法權重更複雜一些。反距離權重法使用基於距離的簡單演算法，但是克裡金法的權重取自 通過查看數據的空間特性開發的半變異函數。要創建某現象的連續錶面，將對研究區域（該區域基於半變異函數和附近測量值的空間排列）中的每個位置或單元中心 進行預測。

克裡金方法

有兩種克裡金方法：普通克裡金法和泛克裡金法。

普通克裡金法是最普通和廣泛使用的克裡金方法，是一種預設方法。該方法假定恆定且未知的平均值。如果不能拿出科學根據進行反駁，這就是一個合理假設。

泛 克裡金法假定數據中存在覆蓋趨勢，例如，可以通過確定性函數（多項式）建模的盛行風。該多項式會從原始測量點扣除，自相關會通過隨機誤差建模。通過隨機誤 差擬合模型後，在進行預測前，多項式會被添加回預測以得出有意義的結果。應該僅在您瞭解數據中存在某種趨勢並能夠提供科學判斷描述泛克裡金法時，才可使用 該方法。

半變異函數圖形

克裡金法是一個複雜過程，需要的有關空間統計的知識比本主題中介紹的還要多。使用克裡金法之前，您應對其基礎知識全面理解並對使用該技術進行建模的數據的適宜性進行評估。如果沒有充分理解該過程，強烈建議您查看本主題結尾列出的一些參考書目。

克裡金法基於地區化的變數理論，該理論假定 z 值表示的現象中的空間變化在整個錶面就統計意義而言是一致的（例如，在錶面的所有位置處均可觀察到相同的變化圖案）。該空間一致性假設對於地區化的變數理論是十分重要的。

數學模型

下麵是用於描述半方差的數學模型的常用形狀和方程。