威爾遜定理

2016.1.26

威爾遜定理證明：若p為質數，則p可整除(p-1)!+1

First : 先把奇奇怪怪的取值試驗一下

      若p=2，成立；

      若p=3，成立；

      那麼我們就開始研究p>=5的情況

Second : 我們先來證明幾個結論

        設A = {2,3,4,……,p-2}   設a∈A

        記B = {a,2a,3a,……,(p-1)a}

【B中不會有取模p同餘的數……………………………………結論1

        證明：設b₁a,b₂a∈B,  b_2,b₁∈[1,p-1]上不同兩數

              假設b₁a≡b₂a (mod p)

              則|b₁-b₂|a≡0 (mod p)

              然而|b₁-b₂|∈[1,p-2]

              所以|b₁-b₂|a∈B

              然而B中顯然沒有數能被p整除，所以題設不成立

              所以結論1得證

        由於B中有p-1個元素，非p倍數模p餘數也只有p-1種，所以B中模p餘數構成集合C={1,2,3,…,p-1} 】

      【B中被p除餘1的數是ba，b∈A且b!=a…………………..結論2

        證明：若b=1，則ba=a，由於a∈A，所以a!=1,不成立

              若b=p-1,則(p-1)a≡p-a(mod p), 由於a∈A，所以p-a∈[2,p-2],不成立

              若b=a，則a²≡1(mod p),所以(a+1)(a-1)+≡0(mod p),因為p是素數，所以(a+1)和(a-1)中有且只有一個是p的倍數. 由於a∈A,所以(a+1)∈[3,p-1],(a-1)∈[1,p-3],所以他倆都不可能是p的倍數

              結論2得證 】

      【接著結論2，若a不同，b也不同…………………………結論3

        證明：設a1!=a2,但都屬於A,且ba1≡ba2≡1(mod p)

              易知ba1,ba2∈B，而根據結論1，則不成立

              結論3得證】

Third : 證明瞭這麼多結論，那麼這個定理也基本浮出水面了

       結論1告訴了我們B中對於每一個a都有唯一一個b∈[1,p-1]使得ab≡1(mod p)

       結論3升華了結論1，將b的範圍縮至b∈[2,p-2],且不會使a=b.也就是說，在[2,p-2]中每個數都可以找到一個與之唯一對應的逆元(註：p顯然是偶數，所以該區間內可以將所有整數分成一對兒一對兒的)，且該逆元屬於[2,p-2]。

所以(p-1)!+1≡(p-1)+1≡0(mod p)