稀疏矩陣是一種特殊的矩陣，其非零元素數目遠遠少於零元素數目，並且非零元素分佈沒有規律。
這種矩陣在實際應用中經常出現，例如在物理學、圖形學和網路通信等領域。

稀疏矩陣其實也可以和一般的矩陣一樣處理，之所以要把它區分開來進行特殊處理，是因為：
一方面稀疏矩陣的存儲空間開銷通常比稠密矩陣要小得多，可以節省存儲空間；
另一方面，在計算稀疏矩陣時，可以利用其特殊的結構，採用專門的演算法，提高計算效率和準確性。
因此，稀疏矩陣在Scipy庫中被單獨作為一個模塊，以便被更好地處理和應用。

1. 主要功能

稀疏矩陣子模塊（scipy.sparse）的主要功能包括：

這裡有個需要註意的地方是稀疏數組和稀疏矩陣的區別。
這兩個類別中的很多函數名稱也類似，比如：bsr_array和bsr_matrix，coo_array和coo_matrix等等。

只要區別在於：
***_matrix類的函數是一種基於Compressed Sparse Row（CSR）和Compressed Sparse Column（CSC）格式的塊稀疏矩陣表示方法。
它使用一個字典來存儲非零元素，其中每個元素對應於一個包含三個值的元組，分別表示該元素的行索引、列索引和非零元素的值。
這種數據結構可以提供更好的計算性能和記憶體使用效率，特別適合於大規模的塊稀疏矩陣計算。

而***_array 類的函數雖然類似於***_matrix的數據結構，但它允許更大的靈活性。
***_array 可以表示任意的稀疏數組，而不僅僅是塊稀疏矩陣。
它使用一個具有三個數組的元組來表示稀疏數組，其中第一個數組存儲行索引，第二個數組存儲列索引，第三個數組存儲非零元素的值。
這種數據結構適用於更通用的稀疏數組計算，但可能不如***_matrix高效。

總之，***_matrix和***_array都是用於表示塊稀疏矩陣或稀疏數組的數據結構。
***_matrix更適合於大規模的塊稀疏矩陣計算，而***_array適用於更通用的稀疏數組計算。

2. 使用示例

稀疏矩陣之所以成為單獨的一個模塊，是因為它的稀疏的特性在很多領域多有廣泛的應用。
scipy.sparse子模塊中提供了大概7種：

1. csc_matrix: 壓縮稀疏列格式（Compressed Sparse Column）
2. csr_matrix: 壓縮稀疏行格式（Compressed Sparse Row）
3. bsr_matrix: 塊稀疏行格式（Block Sparse Row）
4. lil_matrix: 列表格式的列表（List of Lists format）
5. dok_matrix: 鍵格式字典（Dictionary of Keys）
6. coo_matrix: 坐標格式（又名 IJV，三元組格式）
7. dia_matrix: 對角線格式（DIAgonal format）

2.1. 使用稀疏矩陣

稀疏矩陣其實在運算上和使用普通矩陣一樣。
首先，構造一個創建矩陣的方法create_matrix，這個方法會生成一個10x10的矩陣，
方法的參數N表示隨機在矩陣的N個位置中生成值。

from scipy import sparse
import numpy as np

# 創建一個10x10矩陣，其中有值的元素不超過N個
def create_matrix(N):
    data = np.zeros((10, 10))

    for _ in range(N):
        row = np.random.randint(0, 10, 1)
        col = np.random.randint(0, 10, 1)
        data[row, col] = np.random.randint(1, 100, 1)

    return data

create_matrix創建的是普通矩陣，我們將生成的矩陣轉換為稀疏矩陣後，計算方式差不多。

# 創建兩個普通矩陣
m1 = create_matrix(8)
m2 = create_matrix(6)

# 計算點積
m1.dot(m2) # 返回m1和m2的點積結果

# 將普通矩陣變為稀疏矩陣
#（這裡的演示用了7種類型中的一種bsr）
d1 = sparse.bsr_matrix(m1)
d2 = sparse.bsr_matrix(m2)

# 計算點積後，用toarray方法轉換為二維數組
d1.dot(d2).toarray()

從上面的代碼可以看出，用scipy.sparse中的稀疏矩陣和使用一般矩陣差不多。

2.2. 稀疏矩陣的性能

我們使用稀疏矩陣，就是因為其運算性能比使用一般矩陣強，否則還不如直接用一般矩陣。
下麵，簡單測試下scipy.sparse模塊下稀疏矩陣的性能。

先看其記憶體占用是否有減少，為了讓性能差別能顯著看出，
先擴大測試矩陣為 1000x1000。

import sys

def create_matrix(N):
    data = np.zeros((1000, 1000))

    for _ in range(N):
        row = np.random.randint(0, 1000, 1)
        col = np.random.randint(0, 1000, 1)
        data[row, col] = np.random.randint(1, 100, 1)

    return data

m1 = create_matrix(8)
m2 = create_matrix(6)

d1 = sparse.csr_matrix(m1)
d2 = sparse.csr_matrix(m2)

print("一般矩陣 m1 占用的空間：{}".format(sys.getsizeof(m1)))
print("一般矩陣 m2 占用的空間：{}".format(sys.getsizeof(m2)))
print("一般矩陣 d1 占用的空間：{}".format(sys.getsizeof(d1)))
print("一般矩陣 d2 占用的空間：{}".format(sys.getsizeof(d2)))
# 運行結果：
一般矩陣 m1 占用的空間：8000128
一般矩陣 m2 占用的空間：8000128
一般矩陣 d1 占用的空間：56
一般矩陣 d2 占用的空間：56

可以看出占用的空間明顯縮小了。

再看點積的運算性能：（運行10輪，每輪100次）

%%timeit -r 10 -n 100
m1.dot(m2)
# 運行結果：
10.6 ms ± 136 µs per loop (mean ± std. dev. of 10 runs, 100 loops each)

稀疏矩陣的點積運算：

%%timeit -r 10 -n 100
d1.dot(d2)
# 運行結果：
137 µs ± 14.3 µs per loop (mean ± std. dev. of 10 runs, 100 loops each)

可以看出，運算性能差別非常大，一個是毫秒級別（10.6ms）的，一個是微秒級別（137 µs）的。

3. 總結

稀疏矩陣在矩陣中只是一種特殊的矩陣，然而在實際應用領域中，卻應用極廣，比如：
在數值計算中，可以用於解決大規模線性代數方程組、大規模非線性方程組和非線性優化問題，以及求解大規模約束規劃問題。

在模式識別中，如人臉識別、手寫數字識別、文本分類等任務，可用於表示高維數據，提取特征併進行降維，提高識別準確率和計算效率。

在推薦系統中，處理大量用戶和物品的數據時，稀疏矩陣可以有效地表示這些數據。

在社交網路中，因為一般社交關係都是稀疏的，所以可用於分析社交網路的結構和行為，例如社區檢測、影響力傳播。

此外，還可以用在電腦視覺，自然語言處理，生物信息學等等領域。
所以，研究稀疏矩陣有其重要的實際意義。